Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{2} y z \mathbf{i}+x y^{2} z \mathbf{j}+x y z^{2} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o rotacional e o divergente do campo vetorial
F(x,y,z)=x^2yz,i+xy^2z,j+xyz^2,k
Este é um problema de cálculo vetorial em coordenadas cartesianas; vamos usar as definições de
rotacional nablatimesF e divergente nablacdotF.

Passo 2

A definição em cartesiano é dada por
nablatimesF = i & j & k partialx & partialy & partialz F1 & F2 & F3 ,
onde F1=x^2yz, F2=xy^2z, F3=xyz^2, e
nablacdotF =partialxF1+partialyF2+partialzF3

Passo 3

Vamos computar cada componente do rotacional:
  • Componente i:
    partialyF3-partialzF2 =partialy(xyz^2)-partialz(xy^2z) =xz^2-xy^2 =xl(z^2-y^2r)
  • Componente j:
    partialzF1-partialxF3 =partialz(x^2yz)-partialx(xyz^2) =x^2y-yz^2 =yl(x^2-z^2r)
  • Componente k:
    partialxF2-partialyF1 =partialx(xy^2z)-partialy(x^2yz) =y^2z-x^2z =zl(y^2-x^2r)
Portanto,
nablatimesF =l(x(z^2-y^2)r),i +l(y(x^2-z^2)r),j +l(z(y^2-x^2)r),k

Passo 4

Agora o divergente:
partialxF1 =partialx(x^2yz)=2xyz, partialyF2 =partialy(xy^2z)=2xyz, partialzF3 =partialz(xyz^2)=2xyz
Somando,
nablacdotF =2xyz+2xyz+2xyz=6xyz

Resposta

(a) nablatimesF =x(z^2-y^2),i+y(x^2-z^2),j+z(y^2-x^2),k
(b) nablacdotF=6xyz

Exercícios relacionados