Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y^{2} z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=x y^{2} z^{2}\,\mathbf{i}+x^{2} y z^{2}\,\mathbf{j}+x^{2} y^{2} z\,\mathbf{k}
e pede duas coisas:
  • (a) o rotacional de \mathbf{F}, isto é \nabla\times\mathbf{F};
  • (b) o divergente de \mathbf{F}, isto é \nabla\cdot\mathbf{F}.
Informações relevantes que temos: as componentes escalares do campo são
P(x,y,z)=x y^{2} z^{2},\qquad Q(x,y,z)=x^{2} y z^{2},\qquad R(x,y,z)=x^{2} y^{2} z.

Passo 2

Vou lembrar as fórmulas e explicar o que cada símbolo significa.
  • O operador nabla é \nabla=(\partial/\partial x)\,\mathbf{i}+(\partial/\partial y)\,\mathbf{j}+(\partial/\partial z)\,\mathbf{k}. Aqui \partial/\partial x significa derivada parcial em relação a x, tratando y e z como constantes, e analogamente para as demais.
  • O rotacional (ou curl) de \mathbf{F}=(P,Q,R) é dado por
\nabla\times\mathbf{F}=\bigl(R_{y}-Q_{z}\bigr)\,\mathbf{i}+\bigl(P_{z}-R_{x}\bigr)\,\mathbf{j}+\bigl(Q_{x}-P_{y}\bigr)\,\mathbf{k},
onde R_{y}=\partial R/\partial y, Q_{z}=\partial Q/\partial z, etc.
  • O divergente (ou div) de \mathbf{F} é
\nabla\cdot\mathbf{F}=P_{x}+Q_{y}+R_{z},
onde P_{x}=\partial P/\partial x, etc.
Regra prática de derivação que vou usar (regra do poder): para derivar em relação a uma variável uma monômio (\text{constante})\cdot u^{n} em que a variável é u, tem-se \dfrac{d}{du}u^{n}=n u^{n-1}. Em derivada parcial, as outras variáveis são constantes.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional.
Primeiro R_{y}:
R(x,y,z)=x^{2}y^{2}z.
Ao derivar em relação a y, x^{2} e z são constantes, e por potência:
R_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y^{2}z\bigr)=x^{2}z\cdot\frac{d}{dy}(y^{2})=x^{2}z\cdot 2y=2x^{2}y z.
Agora Q_{z}:
Q(x,y,z)=x^{2}y z^{2}.
Derivando em relação a z, x^{2}y é constante:
Q_{z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}y z^{2}\bigr)=x^{2}y\cdot\frac{d}{dz}(z^{2})=x^{2}y\cdot 2z=2x^{2}y z.
Portanto a componente i do rotacional é
R_{y}-Q_{z}=2x^{2}y z-2x^{2}y z=0.

Passo 4

Continuar com as demais derivadas do rotacional.
Calcular P_{z}:
P(x,y,z)=x y^{2} z^{2}.
Derivando em relação a z, x y^{2} é constante:
P_{z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x y^{2} z^{2}\bigr)=x y^{2}\cdot\frac{d}{dz}(z^{2})=x y^{2}\cdot 2z=2x y^{2} z.
Calcular R_{x}:
R(x,y,z)=x^{2}y^{2}z.
Derivando em relação a x, y^{2}z é constante:
R_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y^{2}z\bigr)=y^{2}z\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=y^{2}z\cdot 2x=2x y^{2} z.
Portanto a componente j do rotacional é
P_{z}-R_{x}=2x y^{2} z-2x y^{2} z=0.

Passo 5

Calcular a última componente do rotacional.
Calcular Q_{x}:
Q(x,y,z)=x^{2}y z^{2},
derivando em relação a x:
Q_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}y z^{2}\bigr)=y z^{2}\cdot\frac{d}{dx}(x^{2})=y z^{2}\cdot 2x=2x y z^{2}.
Calcular P_{y}:
P(x,y,z)=x y^{2} z^{2},
derivando em relação a y:
P_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x y^{2} z^{2}\bigr)=x z^{2}\cdot\frac{d}{dy}(y^{2})=x z^{2}\cdot 2y=2x y z^{2}.
Logo a componente k do rotacional é
Q_{x}-P_{y}=2x y z^{2}-2x y z^{2}=0.

Passo 6

Juntando as três componentes do rotacional, obtemos
\nabla\times\mathbf{F}=0\,\mathbf{i}+0\,\mathbf{j}+0\,\mathbf{k}=\mathbf{0}.
Ou seja, o rotacional é o vetor nulo em todo o domínio.

Passo 7

Agora calculo o divergente, computando P_{x}, Q_{y} e R_{z}.
Calcular P_{x}:
P(x,y,z)=x y^{2} z^{2}.
Derivando em x, y^{2} z^{2} é constante:
P_{x}=\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x y^{2} z^{2}\bigr)=y^{2} z^{2}.
Calcular Q_{y}:
Q(x,y,z)=x^{2}y z^{2}.
Derivando em y, x^{2} z^{2} é constante:
Q_{y}=\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}y z^{2}\bigr)=x^{2} z^{2}.
Calcular R_{z}:
R(x,y,z)=x^{2}y^{2}z.
Derivando em z, x^{2}y^{2} é constante:
R_{z}=\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}y^{2}z\bigr)=x^{2}y^{2}.

Passo 8

Somando as três parcelas para obter o divergente:
\nabla\cdot\mathbf{F}=P_{x}+Q_{y}+R_{z}=y^{2} z^{2}+x^{2} z^{2}+x^{2} y^{2}.
Essa expressão já está simplificada; pode-se reescrever, por exemplo, como
\nabla\cdot\mathbf{F}=x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2},
que mostra a simetria entre x,y,z.

Resposta

\nabla\times\mathbf{F}=\mathbf{0}
\nabla\cdot\mathbf{F}=x^{2}y^{2}+x^{2}z^{2}+y^{2}z^{2}

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