Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=x y^{2} z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}
\mathbf{F}(x, y, z)=x y^{2} z^{2} \mathbf{i}+x^{2} y z^{2} \mathbf{j}+x^{2} y^{2} z \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- (a) o rotacional de
, isto é ; - (b) o divergente de
, isto é .
Informações relevantes que temos: as componentes escalares do campo são
Passo 2
Vou lembrar as fórmulas e explicar o que cada símbolo significa.
-
O operador nabla é
. Aqui significa derivada parcial em relação a , tratando e como constantes, e analogamente para as demais. -
O rotacional (ou curl) de
é dado por
onde
,
, etc.
- O divergente (ou div) de
é
onde
, etc.
Regra prática de derivação que vou usar (regra do poder): para derivar em relação a uma variável uma monômio
em que a variável é
, tem-se
. Em derivada parcial, as outras variáveis são constantes.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias para o rotacional.
Primeiro
:
Ao derivar em relação a
,
e
são constantes, e por potência:
Agora
:
Derivando em relação a
,
é constante:
Portanto a componente
do rotacional é
Passo 4
Continuar com as demais derivadas do rotacional.
Calcular
:
Derivando em relação a
,
é constante:
Calcular
:
Derivando em relação a
,
é constante:
Portanto a componente
do rotacional é
Passo 5
Calcular a última componente do rotacional.
Calcular
:
derivando em relação a
:
Calcular
:
derivando em relação a
:
Logo a componente
do rotacional é
Passo 6
Juntando as três componentes do rotacional, obtemos
Ou seja, o rotacional é o vetor nulo em todo o domínio.
Passo 7
Agora calculo o divergente, computando
,
e
.
Calcular
:
Derivando em
,
é constante:
Calcular
:
Derivando em
,
é constante:
Calcular
:
Derivando em
,
é constante:
Passo 8
Somando as três parcelas para obter o divergente:
Essa expressão já está simplificada; pode-se reescrever, por exemplo, como
que mostra a simetria entre
.