Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} y z^{2} \mathbf{j}+y^{4} z^{3} \mathbf{k}
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} y z^{2} \mathbf{j}+y^{4} z^{3} \mathbf{k}
Passo 1
O enunciado pede duas coisas sobre o campo vetorial
:
- (a) Calcular o rotacional
. - (b) Calcular o divergente
.
Informações dadas e observações imediatas:
- O campo tem componente em
igual a zero. - As componentes do campo são:
-
(componente na direção ), -
(componente na direção ), -
(componente na direção ).
-
Passo 2
Lembrando as fórmulas que vamos usar (estas são fórmulas padrão de cálculo vetorial; cada operador usa derivadas parciais):
Explicando rápido: uma derivada parcial
de uma função de
trata
e
como constantes; o mesmo para as outras variáveis.
Passo 3
Vou calcular as derivadas parciais necessárias começando por listar novamente as componentes:
Agora calcule as derivadas parciais que aparecem nas fórmulas, uma a uma, mostrando o raciocínio.
Passo 4
Derivadas para o rotacional (explicando como derivar monômios):
-
Aquié tratado como constante; a derivada de é . Logo -
Aquié constante em relação a ; a derivada de é . Logo -
-
pois não depende de . -
Aquié constante; a derivada de é . Portanto -
Passo 5
Agora monto o rotacional usando as derivadas calculadas:
Simplificando (mantendo fator comum quando útil):
Passo 6
Calculo do divergente com as derivadas apropriadas (algumas já calculadas no passo 4):
-
-
(pois derivada de é ). -
Somando,
Passo 7
Pequena verificação de consistência (sanity check): todas as componentes têm as potências esperadas de
conforme as derivadas de monômios; não há termos faltando. As unidades algébricas fazem sentido (não houve divisão por zero nem operações estranhas).
Resposta
(a)
(b)