Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=x^{3} y z^{2} \mathbf{j}+y^{4} z^{3} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede duas coisas sobre o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=x^{3}y z^{2}\,\mathbf{j}+y^{4}z^{3}\,\mathbf{k}:
  • (a) Calcular o rotacional \nabla\times\mathbf{F}.
  • (b) Calcular o divergente \nabla\cdot\mathbf{F}.
Informações dadas e observações imediatas:
  • O campo tem componente em \mathbf{i} igual a zero.
  • As componentes do campo são:
    • F_1=0 (componente na direção \mathbf{i}),
    • F_2=x^{3}y z^{2} (componente na direção \mathbf{j}),
    • F_3=y^{4}z^{3} (componente na direção \mathbf{k}).

Passo 2

Lembrando as fórmulas que vamos usar (estas são fórmulas padrão de cálculo vetorial; cada operador usa derivadas parciais):
\nabla\times\mathbf{F} =\left(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{i} +\left(\frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x}\right)\mathbf{j} +\left(\frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{k},
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
Explicando rápido: uma derivada parcial \partial/\partial x de uma função de x,y,z trata y e z como constantes; o mesmo para as outras variáveis.

Passo 3

Vou calcular as derivadas parciais necessárias começando por listar novamente as componentes:
F_1=0,\qquad F_2=x^{3}y z^{2},\qquad F_3=y^{4}z^{3}.
Agora calcule as derivadas parciais que aparecem nas fórmulas, uma a uma, mostrando o raciocínio.

Passo 4

Derivadas para o rotacional (explicando como derivar monômios):
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{4}z^{3}\big).
    Aqui z é tratado como constante; a derivada de y^{4} é 4y^{3}. Logo \frac{\partial F_3}{\partial y}=4y^{3}z^{3}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}\big(x^{3}y z^{2}\big).
    Aqui x^{3}y é constante em relação a z; a derivada de z^{2} é 2z. Logo \frac{\partial F_2}{\partial z}=2x^{3}y z.
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(0)=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{4}z^{3}\big)=0, pois F_3 não depende de x.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}y z^{2}\big).
    Aqui y z^{2} é constante; a derivada de x^{3} é 3x^{2}. Portanto \frac{\partial F_2}{\partial x}=3x^{2}y z^{2}.
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(0)=0.

Passo 5

Agora monto o rotacional usando as derivadas calculadas:
\nabla\times\mathbf{F} =\big(4y^{3}z^{3}-2x^{3}y z\big)\mathbf{i} +\big(0-0\big)\mathbf{j} +\big(3x^{2}y z^{2}-0\big)\mathbf{k}.
Simplificando (mantendo fator comum quando útil):
\nabla\times\mathbf{F}=\big(4y^{3}z^{3}-2x^{3}y z\big)\mathbf{i}+0\cdot\mathbf{j}+3x^{2}y z^{2}\mathbf{k}.

Passo 6

Calculo do divergente com as derivadas apropriadas (algumas já calculadas no passo 4):
  • \displaystyle \frac{\partial F_1}{\partial x}=0.
  • \displaystyle \frac{\partial F_2}{\partial y}= \frac{\partial}{\partial y}\big(x^{3}y z^{2}\big)=x^{3}z^{2} (pois derivada de y é 1).
  • \displaystyle \frac{\partial F_3}{\partial z}= \frac{\partial}{\partial z}\big(y^{4}z^{3}\big)=3y^{4}z^{2}.
Somando,
\nabla\cdot\mathbf{F}=0 + x^{3}z^{2} + 3y^{4}z^{2}=z^{2}\big(x^{3}+3y^{4}\big).

Passo 7

Pequena verificação de consistência (sanity check): todas as componentes têm as potências esperadas de x,y,z conforme as derivadas de monômios; não há termos faltando. As unidades algébricas fazem sentido (não houve divisão por zero nem operações estranhas).

Resposta

(a) \nabla\times\mathbf{F}=\big(4y^{3}z^{3}-2x^{3}y z\big)\mathbf{i}+0\mathbf{j}+3x^{2}y z^{2}\mathbf{k}
(b) \nabla\cdot\mathbf{F}=z^{2}\big(x^{3}+3y^{4}\big)

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