Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=\langle\operatorname{arctg}(x y), \operatorname{arctg}(y z), \operatorname{arctg}(z x)\rangle

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\mathbf{F}(x,y,z)=\langle \operatorname{arctg}(xy),\; \operatorname{arctg}(yz),\; \operatorname{arctg}(zx)\rangle.
Pede-se:
  • (a) o rotacional de \mathbf{F} (isto é, \nabla\times\mathbf{F});
  • (b) o divergente de \mathbf{F} (isto é, \nabla\cdot\mathbf{F}).
Informações relevantes fornecidas:
  • Componentes do campo:
    • F_1(x,y,z)=\operatorname{arctg}(xy).
    • F_2(x,y,z)=\operatorname{arctg}(yz).
    • F_3(x,y,z)=\operatorname{arctg}(zx).

Passo 2

Lembrete das definições e da regra necessária para derivar \operatorname{arctg}.
  • Definição do rotacional em coordenadas cartesianas: para \mathbf{F}=\langle F_1,F_2,F_3\rangle,
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big).
  • Definição do divergente:
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z}.
  • Derivada de \operatorname{arctg}(u) por cadeia: se g(u)=\operatorname{arctg}(u) então
\frac{d}{du}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}.
Portanto, se u=u(x,y,z),
\frac{\partial}{\partial x}\operatorname{arctg}(u)=\frac{1}{1+u^{2}}\cdot\frac{\partial u}{\partial x}.
Isto é a regra da cadeia aplicada a derivadas parciais. Vamos aplicar isso às três componentes, lembrando que \operatorname{arctg} é função escalar e que \partial/\partial x trata y,z como constantes.

Passo 3

Calcular as derivadas parciais necessárias (aplicando a regra da cadeia a cada componente).
  • Para F_1(x,y,z)=\operatorname{arctg}(xy): \frac{\partial F_1}{\partial x}=\frac{1}{1+(xy)^{2}}\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial x} =\frac{1}{1+(xy)^{2}}\cdot y =\frac{y}{1+(xy)^{2}}.
\frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{1}{1+(xy)^{2}}\cdot\frac{\partial (xy)}{\partial y} =\frac{x}{1+(xy)^{2}}.
\frac{\partial F_1}{\partial z}=0\quad\text{(pois \(F_1\) não depende de \(z\)).}ã
  • Para F_2(x,y,z)=\operatorname{arctg}(yz):
    \frac{\partial F_2}{\partial y}=\frac{z}{1+(yz)^{2}}, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{y}{1+(yz)^{2}}, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial x}=0.
  • Para F_3(x,y,z)=\operatorname{arctg}(zx):
    \frac{\partial F_3}{\partial z}=\frac{x}{1+(zx)^{2}}, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{z}{1+(zx)^{2}}, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial y}=0.

Passo 4

Montar o rotacional usando as parciais calculadas.
Usando a fórmula
\nabla\times\mathbf{F}=\Big(\frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y}\Big),
substituindo as derivadas:
  • Primeira componente:
    \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z} =0-\frac{y}{1+(yz)^{2}} =-\frac{y}{1+(yz)^{2}}.
  • Segunda componente:
    \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x} =0-\frac{z}{1+(zx)^{2}} =-\frac{z}{1+(zx)^{2}}.
  • Terceira componente:
    \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} =0-\frac{x}{1+(xy)^{2}} =-\frac{x}{1+(xy)^{2}}.
Portanto
\nabla\times\mathbf{F}=\Big\langle -\frac{y}{1+(yz)^{2}},\; -\frac{z}{1+(zx)^{2}},\; -\frac{x}{1+(xy)^{2}}\Big\rangle.

Passo 5

Calcular o divergente somando as derivadas parciais apropriadas.
Usando
\nabla\cdot\mathbf{F}=\frac{\partial F_1}{\partial x}+\frac{\partial F_2}{\partial y}+\frac{\partial F_3}{\partial z},
substitui-se as parciais obtidas no Passo 3:
\nabla\cdot\mathbf{F} =\frac{y}{1+(xy)^{2}}+\frac{z}{1+(yz)^{2}}+\frac{x}{1+(zx)^{2}}.

Resposta

(a) \nabla\times\mathbf{F}=\displaystyle\Big\langle -\frac{y}{1+(yz)^{2}},\; -\frac{z}{1+(zx)^{2}},\; -\frac{x}{1+(xy)^{2}}\Big\rangle
(b) \nabla\cdot\mathbf{F}=\displaystyle\frac{y}{1+(xy)^{2}}+\frac{z}{1+(yz)^{2}}+\frac{x}{1+(zx)^{2}}

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