Determine (a) o rotacional e (b) o divergente do campo vetorial.
\mathbf{F}(x, y, z)=\langle\operatorname{arctg}(x y), \operatorname{arctg}(y z), \operatorname{arctg}(z x)\rangle
\mathbf{F}(x, y, z)=\langle\operatorname{arctg}(x y), \operatorname{arctg}(y z), \operatorname{arctg}(z x)\rangle
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
Pede-se:
- (a) o rotacional de
(isto é, ); - (b) o divergente de
(isto é, ).
Informações relevantes fornecidas:
- Componentes do campo:
-
. -
. -
.
-
Passo 2
Lembrete das definições e da regra necessária para derivar
.
- Definição do rotacional em coordenadas cartesianas: para
,
- Definição do divergente:
- Derivada de
por cadeia: se então
Portanto, se
,
Isto é a regra da cadeia aplicada a derivadas parciais. Vamos aplicar isso às três componentes, lembrando que
é função escalar e que
trata
como constantes.
Passo 3
Calcular as derivadas parciais necessárias (aplicando a regra da cadeia a cada componente).
- Para
:
-
Para
: -
Para
:
Passo 4
Montar o rotacional usando as parciais calculadas.
Usando a fórmula
substituindo as derivadas:
-
Primeira componente:
-
Segunda componente:
-
Terceira componente:
Portanto
Passo 5
Calcular o divergente somando as derivadas parciais apropriadas.
Usando
substitui-se as parciais obtidas no Passo 3:
Resposta
(a)
(b)