1- Aplique o teorema da divergência, para determinar o fluxo (vazão) [m3/s] de um Campo \mathrm{F}(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z})=(\mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}), produzido no centro de um cubo de arestas, \mathrm{a}=1, o qual extravasa pelas 6 faces. Considere um dos vértices do cubo em O(0,0,0) e seu oposto, o vértice oposto em (1,1,1).

Passo 1

O enunciado pede que a gente determine o fluxo (vazão) que sai de um cubo pelos seus 6 faces, dado o campo vetorial \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z). As informações relevantes são:
  • O campo vetorial é \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z).
  • O cubo tem aresta a=1.
  • Um vértice do cubo é O(0,0,0) e o vértice oposto é (1,1,1). Portanto o domínio do interior do cubo é \{(x,y,z)\mid 0\le x\le1,\;0\le y\le1,\;0\le z\le1\}.
  • Queremos o fluxo total que extravasa (sai) pelas seis faces do cubo, em \mathrm{m}^3/\mathrm{s}.

Passo 2

Vou usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). Vou explicar com calma o que ele diz e por que é útil aqui.
O Teorema da Divergência afirma, para um campo vetorial suficientemente regular, que o fluxo total saindo por uma superfície fechada S que envolve um volume V é igual à integral tripla sobre V da divergência do campo. Em fórmulas:
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV.
Aqui:
  • \mathbf{n} é o vetor normal unitário à superfície S apontando para fora (outward).
  • \mathbf{F}\cdot\mathbf{n} é o fluxo por unidade de área através de S.
  • \nabla\cdot\mathbf{F} é a divergência de \mathbf{F}, que mede o “quanto o campo está saindo” de cada ponto (o fluxo por unidade de volume).
Esse teorema é perfeito para nossa questão porque integrar sobre 6 faces separadas é chato; trocar pela integral do volume interno muitas vezes simplifica muito — especialmente quando a divergência é simples.

Passo 3

Calculemos a divergência do campo \mathbf{F}(x,y,z)=(x,y,z).
Definição: \nabla\cdot\mathbf{F} = \dfrac{\partial F_x}{\partial x} + \dfrac{\partial F_y}{\partial y} + \dfrac{\partial F_z}{\partial z}, onde F_x,F_y,F_z são as componentes de \mathbf{F}.
No nosso caso F_x(x,y,z)=x, F_y(x,y,z)=y, F_z(x,y,z)=z. Então:
\nabla\cdot\mathbf{F} = \frac{\partial}{\partial x}(x) + \frac{\partial}{\partial y}(y) + \frac{\partial}{\partial z}(z) = 1 + 1 + 1 = 3.
Explicando: a derivada de x em relação a x é 1; análogo para y e z.

Passo 4

Agora aplicamos o Teorema da Divergência. O fluxo total que sai do cubo é
\iint_{S}\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,dS \;=\; \iiint_{V} \nabla\cdot\mathbf{F}\,dV = \iiint_{V} 3\,dV,
onde V é o volume do cubo com 0\le x,y,z\le 1. Vamos escrever explicitamente a integral com limites:
\iiint_{V} 3\,dV \;=\; \int_{z=0}^{1}\int_{y=0}^{1}\int_{x=0}^{1} 3\,dx\,dy\,dz.

Passo 5

Calculemos a integral passo a passo.
Primeiro, a integral interna em x:
\int_{x=0}^{1} 3\,dx = 3\big[x\big]_{0}^{1} = 3(1-0)=3.
Agora a integral em y:
\int_{y=0}^{1} 3\,dy = 3\big[y\big]_{0}^{1} = 3(1-0)=3.
Finalmente a integral em z:
\int_{z=0}^{1} 3\,dz = 3\big[z\big]_{0}^{1} = 3(1-0)=3.
Se preferir ver de outro jeito, como a integrando não depende de x,y,z, posso fatorar:
\iiint_{V} 3\,dV = 3\cdot\text{Vol}(V) = 3\cdot(1\cdot1\cdot1)=3.
Portanto o fluxo é 3.

Passo 6

Faço um checagem rápida por cálculo direto nas faces (para treinar e ganhar confiança):
  • Face x=1: normal externa \mathbf{n}=(1,0,0). \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=x e em x=1 vale 1. Área da face é 1. Fluxo dessa face = 1.
  • Face x=0: normal externa \mathbf{n}=(-1,0,0). \mathbf{F}\cdot\mathbf{n}=-x e em x=0 vale 0. Fluxo dessa face = 0.
  • Face y=1: fluxo = 1.
  • Face y=0: fluxo = 0.
  • Face z=1: fluxo = 1.
  • Face z=0: fluxo = 0.
Somando: 1+0+1+0+1+0=3. Confere com o resultado do Teorema da Divergência.

Passo 7

Interpretação final e unidades: o valor 3 é o volume de fluxo por segundo, então em unidades \mathrm{m}^3/\mathrm{s}. Parabéns — você aplicou o teorema corretamente e também verificou com o cálculo direto nas faces.

Resposta

3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{s}

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