1- Aplique o teorema da divergência, para determinar o fluxo (vazão) [m3/s] de um Campo
, produzido no centro de um cubo de arestas,
, o qual extravasa pelas 6 faces. Considere um dos vértices do cubo em
e seu oposto, o vértice oposto em (1,1,1).
Passo 1
O enunciado pede que a gente determine o fluxo (vazão) que sai de um cubo pelos seus 6 faces, dado o campo vetorial
. As informações relevantes são:
- O campo vetorial é
. - O cubo tem aresta
. - Um vértice do cubo é
e o vértice oposto é . Portanto o domínio do interior do cubo é . - Queremos o fluxo total que extravasa (sai) pelas seis faces do cubo, em
.
Passo 2
Vou usar o Teorema da Divergência (também chamado Teorema de Gauss). Vou explicar com calma o que ele diz e por que é útil aqui.
O Teorema da Divergência afirma, para um campo vetorial suficientemente regular, que o fluxo total saindo por uma superfície fechada
que envolve um volume
é igual à integral tripla sobre
da divergência do campo. Em fórmulas:
Aqui:
-
é o vetor normal unitário à superfície apontando para fora (outward). -
é o fluxo por unidade de área através de . -
é a divergência de , que mede o “quanto o campo está saindo” de cada ponto (o fluxo por unidade de volume).
Esse teorema é perfeito para nossa questão porque integrar sobre 6 faces separadas é chato; trocar pela integral do volume interno muitas vezes simplifica muito — especialmente quando a divergência é simples.
Passo 3
Calculemos a divergência do campo
.
Definição:
, onde
são as componentes de
.
No nosso caso
,
,
. Então:
Explicando: a derivada de
em relação a
é
; análogo para
e
.
Passo 4
Agora aplicamos o Teorema da Divergência. O fluxo total que sai do cubo é
onde
é o volume do cubo com
. Vamos escrever explicitamente a integral com limites:
Passo 5
Calculemos a integral passo a passo.
Primeiro, a integral interna em
:
Agora a integral em
:
Finalmente a integral em
:
Se preferir ver de outro jeito, como a integrando não depende de
, posso fatorar:
Portanto o fluxo é
.
Passo 6
Faço um checagem rápida por cálculo direto nas faces (para treinar e ganhar confiança):
- Face
: normal externa . e em vale . Área da face é . Fluxo dessa face = . - Face
: normal externa . e em vale . Fluxo dessa face = . - Face
: fluxo = . - Face
: fluxo = . - Face
: fluxo = . - Face
: fluxo = .
Somando:
. Confere com o resultado do Teorema da Divergência.
Passo 7
Interpretação final e unidades: o valor
é o volume de fluxo por segundo, então em unidades
. Parabéns — você aplicou o teorema corretamente e também verificou com o cálculo direto nas faces.