Determine (a) o rotacional e (b) o divergente:
1- F(x, y, z)=x y z i-x^{2} y k
1- F(x, y, z)=x y z i-x^{2} y k
Passo 1
O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial
:
(a) o rotacional de (ou seja,
);
(b) o divergente de (ou seja,
).
O campo dado é
(a) o rotacional de
(b) o divergente de
O campo dado é
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos fixar notação e lembrar o que precisamos calcular. Escrevemos o vetor em componentes:
Para calcular o rotacional usamos a fórmula componente a componente:
Explicando:
é o operador diferencial
. Cada derivada parcial
,
,
significa manter as outras variáveis fixas e derivar em relação àquela variável — por exemplo,
porque
e
são tratados como constantes.
Passo 3
Calculemos as derivadas parciais necessárias para a primeira componente do rotacional:
porque derivando em relação a
o termo
é constante e aparece multiplicando
.
Portanto a primeira componente do rotacional é
Passo 4
Agora a segunda componente do rotacional: precisamos de
e
.
pois
e
são constantes quando derivamos em relação a
.
porque derivando
em relação a
dá
, e
é tratado como constante.
Subtraindo:
Subtraindo:
Passo 5
Terceira componente do rotacional: precisamos de
e
.
pois
e
são constantes ao derivar em relação a
.
Logo a terceira componente é
Logo a terceira componente é
Passo 6
Juntando as três componentes obtidas, temos o rotacional:
Se quiser, podemos escrever em forma vetorial com vetores unitários:
Passo 7
Agora vamos ao divergente. Relembrando a fórmula:
Explicando: o divergente soma as taxas de variação de cada componente do campo na sua direção correspondente.
Passo 8
Calculemos cada termo:
pois
não depende de
. Somando,