Determine (a) o rotacional e (b) o divergente:
1- F(x, y, z)=x y z i-x^{2} y k

Passo 1

O enunciado pede duas coisas para o campo vetorial F(x,y,z):
(a) o rotacional de F (ou seja, \nabla\times F);
(b) o divergente de F (ou seja, \nabla\cdot F).
O campo dado é
F(x,y,z)=x y z\,\mathbf{i}-x^{2}y\,\mathbf{k}.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
P(x,y,z)=x y z,\qquad Q(x,y,z)=0,\qquad R(x,y,z)=-x^{2}y.

Passo 2

Vamos fixar notação e lembrar o que precisamos calcular. Escrevemos o vetor em componentes:
F=(P,Q,R).
Para calcular o rotacional usamos a fórmula componente a componente:
\nabla\times F=\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z},\;\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x},\;\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Big).
Explicando: \nabla é o operador diferencial \nabla=(\partial/\partial x,\partial/\partial y,\partial/\partial z). Cada derivada parcial \partial/\partial x, \partial/\partial y, \partial/\partial z significa manter as outras variáveis fixas e derivar em relação àquela variável — por exemplo, \partial(xyz)/\partial z=xy porque x e y são tratados como constantes.

Passo 3

Calculemos as derivadas parciais necessárias para a primeira componente do rotacional:
\frac{\partial R}{\partial y}=\frac{\partial (-x^{2}y)}{\partial y}=-x^{2},
porque derivando em relação a y o termo -x^{2} é constante e aparece multiplicando y.
\frac{\partial Q}{\partial z}=\frac{\partial 0}{\partial z}=0.
Portanto a primeira componente do rotacional é
\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}=-x^{2}-0=-x^{2}.

Passo 4

Agora a segunda componente do rotacional: precisamos de \partial P/\partial z e \partial R/\partial x.
\frac{\partial P}{\partial z}=\frac{\partial (x y z)}{\partial z}=x y,
pois x e y são constantes quando derivamos em relação a z.
\frac{\partial R}{\partial x}=\frac{\partial (-x^{2}y)}{\partial x}=-2x y,
porque derivando -x^{2} em relação a x -2x, e y é tratado como constante.
Subtraindo:
\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}=x y-(-2x y)=x y+2x y=3x y.

Passo 5

Terceira componente do rotacional: precisamos de \partial Q/\partial x e \partial P/\partial y.
\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial 0}{\partial x}=0,
\frac{\partial P}{\partial y}=\frac{\partial (x y z)}{\partial y}=x z,
pois x e z são constantes ao derivar em relação a y.
Logo a terceira componente é
\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}=0-x z=-x z.

Passo 6

Juntando as três componentes obtidas, temos o rotacional:
\nabla\times F = (-x^{2},\;3x y,\;-x z).
Se quiser, podemos escrever em forma vetorial com vetores unitários:
\nabla\times F = -x^{2}\,\mathbf{i}+3x y\,\mathbf{j}-x z\,\mathbf{k}.

Passo 7

Agora vamos ao divergente. Relembrando a fórmula:
\nabla\cdot F=\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z}.
Explicando: o divergente soma as taxas de variação de cada componente do campo na sua direção correspondente.

Passo 8

Calculemos cada termo:
\frac{\partial P}{\partial x}=\frac{\partial (x y z)}{\partial x}=y z,
\frac{\partial Q}{\partial y}=\frac{\partial 0}{\partial y}=0,
\frac{\partial R}{\partial z}=\frac{\partial (-x^{2}y)}{\partial z}=0,
pois R não depende de z. Somando,
\nabla\cdot F = y z + 0 + 0 = y z.

Resposta

\nabla\times F = -x^{2}\,\mathbf{i}+3x y\,\mathbf{j}-x z\,\mathbf{k}
\nabla\cdot F = y z

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