Determine (a) o rotacional, (b) o divergente e © o laplaciano do campo vetorial.
F(x, y, z)=x y z i-x^2 y k

Passo 1

O enunciado pede para a gente trabalhar com o campo vetorial F(x,y,z) = x y z , i + 0, j - x^2y, k. O conteúdo envolve três operadores vetoriais clássicos: o rotacional (ou curl), o divergente e o laplaciano aplicado a cada componente. Para resolver, vamos precisar das definições: nabla = (partialx,partialy,partialz), nablatimes F, nablacdot F e nabla^2 F=(nabla^2Fx,nabla^2Fy,nabla^2Fz).

Passo 2

Para achar o rotacional definimos
nablatimes F = l(partialyFz-partialzFy,;partialzFx-partialxFz,;partialxFy-partialyFxr)
Aqui temos Fx=xyz, Fy=0, Fz=-x^2y. Calculando cada componente:
  • partialyFz=partialy(-x^2y)=-x^2 e partialzFy=0 => componente i é -x^2.
  • partialzFx=partialz(xyz)=xy e partialxFz=partialx(-x^2y)=-2xy => componente j é xy-(-2xy)=3xy.
  • partialxFy=0 e partialyFx=partialy(xyz)=xz => componente k é 0-xz=-xz.
    Logo,
nablatimes F=-x^2, i+3xy, j- xz, k

Passo 3

O divergente é
nablacdot F=partialxFx+partialyFy+partialzFz
Como Fx=xyz, Fy=0, Fz=-x^2y, temos
  • partialxFx=partialx(xyz)=yz,
  • partialyFy=0,
  • partialzFz=0.
    Então
nablacdot F=yz

Passo 4

O laplaciano de um campo vetorial é o vetor das laplacianas de cada componente:
nabla^2 F=(nabla^2Fx,nabla^2Fy,nabla^2Fz)
Calculando:
  • nabla^2(xyz)=partialx^2(xyz)+partialy^2(xyz)+partialz^2(xyz)=0+0+0=0.
  • nabla^2(0)=0.
  • nabla^2(-x^2y)=partialx^2(-x^2y)+partialy^2(-x^2y)+partialz^2(-x^2y)=(-2y)+0+0=-2y
    Logo
nabla^2 F=(0,0,-2y)

Resposta

(a) nablatimes F=-x^2, i+3xy, j-xz, k, (b) nablacdot F=yz, © nabla^2 F=(0,0,-2y).

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