Determine (a) o rotacional, (b) o divergente e © o laplaciano do campo vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para a gente trabalhar com o campo vetorial
. O conteúdo envolve três operadores vetoriais clássicos: o rotacional (ou curl), o divergente e o laplaciano aplicado a cada componente. Para resolver, vamos precisar das definições:
,
,
e
.
Passo 2
Para achar o rotacional definimos
Aqui temos
,
,
. Calculando cada componente:
-
e => componente é . -
e => componente é . -
e => componente é .
Logo,
Passo 3
O divergente é
Como
,
,
, temos
-
, -
, -
.
Então
Passo 4
O laplaciano de um campo vetorial é o vetor das laplacianas de cada componente:
Calculando:
-
. -
. -
Logo
Resposta
(a)
, (b)
, ©
.