Determine (a) o rotacional, (b) o divergente e © o laplaciano do campo vetorial.
F(x, y, z)=x y exp (z) i+y z exp (x) k

Passo 1

O enunciado pede para o campo vetorial F(x,y,z)=x y e^z, i + y z e^x, k que a gente calcule (a) o rotacional, (b) o divergente e © o laplaciano. Esse exercício cai em cálculo vetorial e vai exigir derivadas parciais e as definições de nablatimes, nablacdot e De aplicadas a cada componente.

Passo 2

Primeiro identificamos as componentes escalares do campo:
P(x,y,z)=x,y,e^z,
Q(x,y,z)=0,
R(x,y,z)=y,z,e^x.

Passo 3

Para o rotacional usamos a definição
nablatimes F =l(Ry - Qz,;Pz - Rx,;Qx - Pyr)
Calculando as derivadas parciais:
Ry=ze^x, Qz=0 ⇒ componente i = ze^x.
Pz=xy e^z, Rx=yz e^x ⇒ componente j = xy e^z - yz e^x.
Qx=0, Py=xe^z ⇒ componente k = -xe^z.

Passo 4

Para o divergente aplicamos nablacdot F = Px + Qy + Rz. Calculando:
Px = ye^z, Qy = 0, Rz = ye^x.
Somando, nablacdot F = ye^z + ye^x.

Passo 5

Para o laplaciano de um campo vetorial usamos De.
Calculando cada um:
De.
De.
De.
Logo, De.

Resposta

(a) nablatimes F = (ze^x,;xy e^z - yz e^x,;-xe^z). (b) nablacdot F = ye^z + ye^x. © De.

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