Esboce o gráfico de
f(x)=cos (x)2+sen(x)

Passo 1

O enunciado pede para esboçar o gráfico da função f(x)=cos(x)2+sin(x). Vamos tratar de análise de domínio, periodicidade, zeros, extremos e, por fim, usar tudo isso para desenhar o esboço.

Passo 2

Primeiro, vemos o domínio e a periodicidade. Como sin(x)in[-1,1], o denominador 2+sin(x) varia entre 1 e 3, nunca é zero. Logo, o domínio é todo R e não há assíntotas verticais. Além disso, tanto cos(x) quanto sin(x) têm período 2pi, então f(x) também tem período 2pi.

Passo 3

Para encontrar os zeros de f, basta achar quando o numerador some zero: cos(x)=0. Assim,
x=pi2+kpi, kinZ, e nestes pontos f(x)=0.

Passo 4

Agora vamos aos extremos. Calculamos a derivada por regra do quociente:
f'(x)=-sin(x),(2+sin(x)) - cos^2(x)(2+sin(x))^2 =-2sin(x)-sin^2(x)-cos^2(x)(2+sin(x))^2 =-2sin(x)-1(2+sin(x))^2 Para extremos, impomos f'(x)=0, ou seja,
-2sin(x)-1=0 Longrightarrow sin(x)=-tfrac12

Passo 5

As soluções são
[
x=-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi
enquanto coseno é cos(-tfracpi6)=tfracraiz32,
[
x=\tfrac{7\pi}{6}+2k\pi
enquanto cos(7pi/6)=-tfracraiz32.

Passo 6

(a) Em x=-pi6 temos
fl(-tfracpi6r)=cos(-pi/6)2+sin(-pi/6) =raiz3/22-1/2=raiz3/23/2=raiz33, é máximo local.
(b) Em x=7pi/6
fl(7pi/6r)=-raiz3/22-1/2=-raiz33, é mínimo local. Assim, o valor da função oscila entre -raiz3/3 e +raiz3/3.

Passo 7

Com todas essas informações, ao desenhar em um período [0,2pi], marcamos:
  • zeros em pi/2 e 3pi/2,
  • máximo +raiz3/3 em 11pi/6 (equivalente a -pi/6),
  • mínimo -raiz3/3 em 7pi/6,
  • valores intermediários: f(0)=1/2, f(pi)= -1/2,
  • função contínua, suave e periódica, repetindo esse padrão a cada 2pi.
    Pronto: unindo esses pontos com curvas suaves, obtemos o esboço de f(x).

Resposta

O gráfico é uma curva suave e periódica de período 2pi, sem assíntotas, com zeros em x=pi/2+kpi, máximo local +raiz3/3 em x=-pi/6+2kpi e mínimo local -raiz3/3 em x=7pi/6+2kpi. No intervalo [0,2pi] passa por (0,0.5), (π/2,0), (π,–0.5), (3π/2,0), atinge +0.577 em 11π/6 e –0.577 em 7π/6, e repete esse padrão a cada período.

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