Esboce o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede para esboçar o gráfico da função
. Vamos tratar de análise de domínio, periodicidade, zeros, extremos e, por fim, usar tudo isso para desenhar o esboço.
Passo 2
Primeiro, vemos o domínio e a periodicidade. Como
, o denominador
varia entre 1 e 3, nunca é zero. Logo, o domínio é todo
e não há assíntotas verticais. Além disso, tanto
quanto
têm período
, então
também tem período
.
Passo 3
Para encontrar os zeros de
, basta achar quando o numerador some zero:
. Assim,
Passo 4
Agora vamos aos extremos. Calculamos a derivada por regra do quociente:
Passo 5
As soluções são
[
x=-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi
enquanto coseno é ,
[
x=\tfrac{7\pi}{6}+2k\pi
enquanto .
x=-\tfrac{\pi}{6}+2k\pi
enquanto coseno é
[
x=\tfrac{7\pi}{6}+2k\pi
enquanto
Passo 6
(a) Em
temos
(b) Em
Passo 7
Com todas essas informações, ao desenhar em um período
, marcamos:
- zeros em
e , - máximo
em (equivalente a ), - mínimo
em , - valores intermediários:
, , - função contínua, suave e periódica, repetindo esse padrão a cada
.
Pronto: unindo esses pontos com curvas suaves, obtemos o esboço de.
Resposta
O gráfico é uma curva suave e periódica de período
, sem assíntotas, com zeros em
, máximo local
em
e mínimo local
em
. No intervalo
passa por (0,0.5), (π/2,0), (π,–0.5), (3π/2,0), atinge +0.577 em 11π/6 e –0.577 em 7π/6, e repete esse padrão a cada período.