Esboce o gráfico de
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente esboçar o gráfico da função $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $. Isso está dentro da matéria de Funções Racionais, que são aquelas que envolvem divisão de polinômios. Para resolver isso, vamos precisar identificar principalmente os domínios, assíntotas, interceptos e o comportamento geral da função.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir o domínio da função, ou seja, para quais valores de $ x $ a função está definida. A função não pode ter o denominador igual a zero, porque divisão por zero não existe.
Então, resolvemos:
Então, o domínio é $ x \in \mathbb{R} $ exceto $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 3
Agora, vamos encontrar as assíntotas verticais. Essas ocorrem onde o denominador é zero e o numerador não é zero.
Já vimos que $ x = 1 $ e $ x = -1 $ fazem o denominador zero.
Verificamos o numerador:
Para $ x = 1 $ e $ x = -1 $, o numerador é $ 2(1)^{2} = 2 $ e $ 2(-1)^{2} = 2 $, que não é zero.
Então, as assíntotas verticais são $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
Passo 4
Vamos procurar a assíntota horizontal. Para isso, comparamos os graus do numerador e do denominador.
O grau do numerador é 2 (de $ 2x^{2} $) e o grau do denominador também é 2 (de $ x^{2} - 1 $).
Quando os graus são iguais, a assíntota horizontal é o coeficiente líder do numerador dividido pelo coeficiente líder do denominador.
Então:
Portanto, a assíntota horizontal é $ y = 2 $.
Passo 5
Vamos encontrar os interceptos com os eixos.
Intercepto com o eixo y: ocorre quando $ x = 0 $.
Substituindo na função:
Então, o intercepto com o eixo y é $ (0, 0) $.
Interceptos com o eixo x: ocorre quando $ f(x) = 0 $.
Isso acontece quando o numerador é zero, ou seja, quando $ 2x^{2} = 0 $.
Então, o intercepto com o eixo x também é $ (0, 0) $.
Passo 6
Vamos analisar o comportamento da função nos intervalos determinados pelas assíntotas verticais $ x = -1 $ e $ x = 1 $.
Dividimos a reta dos números em três intervalos:
- $ x < -1 $
- $ -1 < x < 1 $
- $ x > 1 $
Vamos escolher valores de teste em cada intervalo e ver o sinal de $ f(x) $.
- Para $ x < -1 $, digamos $ x = -2 $:
- Para $ -1 < x < 1 $, digamos $ x = 0 $:
- Para $ x > 1 $, digamos $ x = 2 $:
Isso mostra que a função é positiva nos intervalos $ x < -1 $ e $ x > 1 $, e passa pelo ponto $ (0,0) $.
Passo 7
Agora, vamos resumir tudo para esboçar o gráfico:
- Domínio: $ x \in \mathbb{R} $ exceto $ x = \pm 1 $.
- Assíntotas verticais: $ x = 1 $ e $ x = -1 $.
- Assíntota horizontal: $ y = 2 $.
- Intercepto no eixo y: $ (0, 0) $.
- Intercepto no eixo x: $ (0, 0) $.
- Comportamento: A função é positiva para $ x < -1 $ e $ x > 1 $, e cruza a origem.
Resposta
O gráfico de $ f(x) = \frac{2x{2}}{x{2} - 1} $ possui duas assíntotas verticais em $ x = 1 $ e $ x = -1 $, uma assíntota horizontal em $ y = 2 $, e intercepta ambos os eixos no ponto $ (0, 0) $. A função é positiva nos intervalos $ x < -1 $ e $ x > 1 $, aproximando-se da linha horizontal $ y = 2 $ à medida que $ x $ tende ao infinito.