Determine a rotacional dos campos vetoriais abaixo:
w=(1r^2 cos theta) r+(r sen theta cos phi) theta+(cos theta) phi

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do rotacional de um campo vetorial dado em coordenadas esféricas. O conteúdo envolvido é a fórmula de nablatimesvec A em coordenadas esféricas, que vamos aplicar ao vetor
vec w = wr,hat r + wtheta,hattheta + wphi,hatphi.

Passo 2

Identificamos os componentes em esféricas:
wr = 1r^2costheta, wtheta = rsinthetacosphi, wphi = costheta

Passo 3

Em coordenadas esféricas o rotacional tem componentes (verificado em qualquer livro de Eletromagnetismo ou Cálculo Vetorial):
(nablatimesvec w)r =1rsintheta l[ partialthetal(wphisinthetar) -partialphil(wthetar) r],
(nablatimesvec w)theta =1rl[ 1sintheta,partialphil(wrr) -partialrl(r,wphir) r],
(nablatimesvec w)phi =1rl[ partialrl(r,wthetar) -partialthetal(wrr) r]

Passo 4

Cálculo de (nablatimesvec w)r:
wphisintheta = costheta,sintheta, partialtheta(costheta,sintheta)=cos2theta,
partialphi(wtheta) =partialphil(rsinthetacosphir) =-rsinthetasinphi
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(nablatimesvec w)r =1rsinthetal[cos2theta -(-rsinthetasinphi)r] =cos2thetarsintheta + sinphi

Passo 5

Cálculo de (nablatimesvec w)theta:
partialphi(wr)=0, partialrl(r,wphir) =partialrl(rcosthetar) =costheta
Assim
(nablatimesvec w)theta =1rl[0 - costhetar] =-costhetar

Passo 6

Cálculo de (nablatimesvec w)phi:
partialrl(r,wthetar) =partialrl(r^2sinthetacosphir) =2rsinthetacosphi,
partialtheta(wr) =partialthetal(1r^2costhetar) =-1r^2sintheta
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(nablatimesvec w)phi =1rl[2rsinthetacosphi - l(-tfrac1r^2sinthetar)r] =2sinthetacosphi + sinthetar^3

Resposta

nablatimesvec w =l(cos2thetarsintheta + sinphir)hat r -costhetar,hattheta +l(2sinthetacosphi + sinthetar^3r)hatphi

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