Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial
tal que
. O conteúdo envolve cálculo do rotacional e integração de componentes para obter a potencial.
Passo 2
Calculamos o rotacional via
onde
,
e
. Logo,
Portanto
Passo 3
Como
em todo
, que é um domínio simplesmente conexo, concluímos que
é conservativo.
Passo 4
Para encontrar a potencial
, integramos a componente
:
onde
é uma função a determinar.
Passo 5
Impondo a condição em
:
com
dependente apenas de
.
Passo 6
Finalmente, a condição em
exige
de modo que
é constante.
Resposta
O campo é conservativo e uma função potencial é
onde
é constante arbitrária.