Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F=nabla f.
F(x, y, z)=i+sin (z) j+y cos z k

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
F(x,y,z)=lang<= 1,sin(z),ycos(z)rang<=
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial f tal que nabla f=F. O conteúdo envolve cálculo do rotacional e integração de componentes para obter a potencial.

Passo 2

Calculamos o rotacional via
nablatimesF =l(partial Rpartial y-partial Qpartial z,; partial Ppartial z-partial Rpartial x,; partial Qpartial x-partial Ppartial yr),
onde P=1, Q=sin(z) e R=ycos(z). Logo,
partial Rpartial y=cos(z), partial Qpartial z=cos(z),
partial Ppartial z=0, partial Rpartial x=0, partial Qpartial x=0, partial Ppartial y=0
Portanto
nablatimesF=(cos(z)-cos(z),,0-0,,0-0)=(0,0,0)

Passo 3

Como nablatimesF=0 em todo R^3, que é um domínio simplesmente conexo, concluímos que F é conservativo.

Passo 4

Para encontrar a potencial f, integramos a componente x:
partial fpartial x=P=1 Longrightarrow f(x,y,z)=integral 1,dx = x + g(y,z),
onde g é uma função a determinar.

Passo 5

Impondo a condição em y:
partial fpartial y =partial gpartial y=Q=sin(z) Longrightarrow g(y,z)=ysin(z)+h(z),
com h dependente apenas de z.

Passo 6

Finalmente, a condição em z exige
partial fpartial z =ycos(z)+h'(z)=R=ycos(z) Longrightarrow h'(z)=0,
de modo que h é constante.

Resposta

O campo é conservativo e uma função potencial é
f(x,y,z)=x + ysin(z) + C,
onde C é constante arbitrária.

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