Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial
\vec{F}.
\vec{F}(x, y, z)=(\operatorname{arctg}(x y), \operatorname{arctg}(y z), \operatorname{arctg}(z x))

Passo 1

O enunciado pede para calcular o divergente e o rotacional do campo \vec{F}(x,y,z) = \bigl(\arctan(xy),\,\arctan(yz),\,\arctan(zx)\bigr).
O assunto é cálculo vetorial em \mathbb{R}^3. Vamos usar
– para o divergente, a definição \displaystyle \nabla\!\cdot\!\vec{F} = \frac{\partial F_{1}}{\partial x} + \frac{\partial F_{2}}{\partial y} + \frac{\partial F_{3}}{\partial z},
– para o rotacional, \displaystyle \nabla\times\vec{F} = \bigl(\frac{\partial F_{3}}{\partial y}-\frac{\partial F_{2}}{\partial z},\;\frac{\partial F_{1}}{\partial z}-\frac{\partial F_{3}}{\partial x},\;\frac{\partial F_{2}}{\partial x}-\frac{\partial F_{1}}{\partial y}\bigr).

Passo 2

Calcular as derivadas parciais que entram no divergente. Lembrando que \frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr)=\frac{1}{1+u^{2}} e usando a regra da cadeia: \displaystyle \frac{\partial}{\partial x}\arctan(xy) = \frac{y}{1+(xy)^{2}}, \displaystyle \frac{\partial}{\partial y}\arctan(yz) = \frac{z}{1+(yz)^{2}}, \displaystyle \frac{\partial}{\partial z}\arctan(zx) = \frac{x}{1+(zx)^{2}}.

Passo 3

Somando essas derivadas obtemos o divergente:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} = \frac{y}{1+x^{2}y^{2}} + \frac{z}{1+y^{2}z^{2}} + \frac{x}{1+z^{2}x^{2}}.

Passo 4

Para o rotacional, usamos a fórmula \displaystyle \nabla\times\vec{F} = \bigl(\partial_{y}F_{3}-\partial_{z}F_{2},\;\partial_{z}F_{1}-\partial_{x}F_{3},\;\partial_{x}F_{2}-\partial_{y}F_{1}\bigr).
Observamos que \partial_{y}\arctan(zx)=0, \partial_{z}\arctan(xy)=0, \partial_{x}\arctan(yz)=0,
pois cada um desses argumentos não depende da variável em questão.

Passo 5

Calculando cada componente não nula: \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_{1} = 0 - \frac{\partial}{\partial z}\arctan(yz) = -\frac{y}{1+y^{2}z^{2}}, \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_{2} = 0 - \frac{\partial}{\partial x}\arctan(zx) = -\frac{z}{1+z^{2}x^{2}}, \displaystyle (\nabla\times\vec{F})_{3} = 0 - \frac{\partial}{\partial y}\arctan(xy) = -\frac{x}{1+x^{2}y^{2}}.
Logo
\nabla\times\vec{F} = \Bigl(-\tfrac{y}{1+y^{2}z^{2}},\,-\tfrac{z}{1+z^{2}x^{2}},\,-\tfrac{x}{1+x^{2}y^{2}}\Bigr).

Resposta

Divergente:
\nabla\!\cdot\!\vec{F} = \frac{y}{1+x^{2}y^{2}} + \frac{z}{1+y^{2}z^{2}} + \frac{x}{1+z^{2}x^{2}}.
Rotacional:
\nabla\times\vec{F} = \Bigl(-\tfrac{y}{1+y^{2}z^{2}},\,-\tfrac{z}{1+z^{2}x^{2}},\,-\tfrac{x}{1+x^{2}y^{2}}\Bigr).

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