Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f(x, y, z) tal que \vec{F}=\vec{\nabla} f.
\vec{F}(x, y, z)=y z^{2} e^{x z} \mathbf{i}+z e^{x z} \mathbf{j}+x y z e^{x z} \mathbf{k}

Passo 1

O enunciado pede para verificar se o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=y\,z^{2}e^{x z}\,\mathbf{i}+z\,e^{x z}\,\mathbf{j}+x\,y\,z\,e^{x z}\,\mathbf{k}
é conservativo e, em caso afirmativo, encontrar uma potencial escala f(x,y,z) tal que \vec{F}=\nabla f. Para um campo definido em todo \mathbb{R}^3 (domínio simplesmente conexo), basta checar se \nabla\times\vec{F}=\mathbf{0}, o que é equivalente à igualdade de certas derivadas parciais cruzadas.

Passo 2

Vamos comparar as derivadas cruzadas \partial F_{1}/\partial y e \partial F_{2}/\partial x.
Temos
F_{1}=y\,z^{2}e^{x z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial F_{1}}{\partial y}=z^{2}e^{x z},
F_{2}=z\,e^{x z} \quad\Longrightarrow\quad \frac{\partial F_{2}}{\partial x} = z\cdot \frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x z}\bigr) = z\cdot\bigl(z\,e^{x z}\bigr) = z^{2}e^{x z}.
Como \partial F_{1}/\partial y=\partial F_{2}/\partial x, ainda não descartamos a conservação.

Passo 3

Agora comparamos \partial F_{1}/\partial z e \partial F_{3}/\partial x.
Calculando
\frac{\partial F_{1}}{\partial z} =\frac{\partial}{\partial z}\bigl(y\,z^{2}e^{x z}\bigr) =y\Bigl(2z\,e^{x z}+z^{2}\cdot x\,e^{x z}\Bigr) =y\,z\,e^{x z}\,(2 + xz),
\frac{\partial F_{3}}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x\,y\,z\,e^{x z}\bigr) =y\,z\,e^{x z}+x\,y\,z\cdot\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{x z}\bigr) =y\,z\,e^{x z}+x\,y\,z\,(z\,e^{x z}) =y\,z\,e^{x z}\,(1 + xz).
Observamos que
\frac{\partial F_{1}}{\partial z} =y\,z\,e^{x z}\,(2 + xz) \quad\neq\quad y\,z\,e^{x z}\,(1 + xz) =\frac{\partial F_{3}}{\partial x}.
Logo, há um componente não nulo em \nabla\times\vec{F}.

Resposta

O campo \vec{F} não é conservativo, pois \nabla\times\vec{F}\neq\mathbf{0}.

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