Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f(x, y, z) tal que \vec{F}=\vec{\nabla} f.
\vec{F}(x, y, z)=\left(\ln y,\left(\frac{x}{y}\right)+\ln z, \frac{y}{z}\right)

Passo 1

O enunciado pede para ver se o campo \vec{F}(x,y,z)=\bigl(\ln y,\;\tfrac{x}{y}+\ln z,\;\tfrac{y}{z}\bigr)
é conservativo, isto é, se existe f(x,y,z) tal que \vec{F}=\nabla f.
Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas em um domínio simplesmente conexo.

Passo 2

O domínio natural de \vec{F} é \{(x,y,z)\mid y>0,\;z>0\}, que é aberto e convex, logo simplesmente conexo.
Denotando
P=\ln y,\quad Q=\frac{x}{y}+\ln z,\quad R=\frac{y}{z},
calculamos as derivadas parciais cruzadas: \displaystyle \frac{\partial P}{\partial y}=\frac1y e \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac1y, \displaystyle \frac{\partial P}{\partial z}=0 e \displaystyle \frac{\partial R}{\partial x}=0, \displaystyle \frac{\partial Q}{\partial z}=\frac1z e \displaystyle \frac{\partial R}{\partial y}=\frac1z.
Como todas as iguais condições são satisfeitas, \vec{F} é conservativo nesse domínio.

Passo 3

Para achar o potencial f, integramos P=\partial f/\partial x em relação a x:
f(x,y,z)=\int \ln y\,dx = x\ln y + m(y,z),
onde m é uma função arbitrária de y e z.

Passo 4

Agora impomos \partial f/\partial y = Q, ou seja,
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\ln y + m(y,z)\bigr) =\frac{x}{y} + \frac{\partial m}{\partial y} \stackrel{!}{=} \frac{x}{y} + \ln z.
Isso dá \partial m/\partial y=\ln z, logo
m(y,z)=\int \ln z\,dy = y\ln z + n(z),
com n função só de z.

Passo 5

Por fim, impomos \partial f/\partial z = R:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x\ln y + y\ln z + n(z)\bigr) =\frac{y}{z} + n'(z) \stackrel{!}{=} \frac{y}{z}.
Logo n'(z)=0, ou seja, n(z)=\text{constante}.

Resposta

Um potencial para \vec{F} é
f(x,y,z)=x\ln y + y\ln z + C,
onde C é constante arbitrária. Portanto, \vec{F} é conservativo.

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