Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função
tal que
.
Passo 1
O enunciado pede para ver se o campo
é conservativo, isto é, se existe tal que
.
Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas em um domínio simplesmente conexo.
é conservativo, isto é, se existe
Para isso, vamos usar o critério de igualdade das derivadas parciais cruzadas em um domínio simplesmente conexo.
Passo 2
O domínio natural de
é
, que é aberto e convex, logo simplesmente conexo.
Denotando
Denotando
calculamos as derivadas parciais cruzadas:
e
,
e
,
e
.
Como todas as iguais condições são satisfeitas, é conservativo nesse domínio.
Como todas as iguais condições são satisfeitas,
Passo 3
Para achar o potencial
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função arbitrária de
e
.
Passo 4
Agora impomos
, ou seja,
Isso dá
, logo
com
função só de
.
Passo 5
Por fim, impomos
:
Logo
, ou seja,
.
Resposta
Um potencial para
é
onde
é constante arbitrária. Portanto,
é conservativo.