Questão 22
Incorreto
Atingiu 0,00 de 1,00
Se Dy_1e 2 y_2 são duas soluções linearmente independentes de t^{\wedge} 2 y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+(3+t) y=0 e seu Wronskiano é 2 \underline{W}\left(y \_1, y \_2\right)(2)=3 encontre o valor de W(y_1,y_2).(9) com precisão de duas casas decimais.
Resposta: \square 60,75 \times

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem
t^{2}y''-2y'+(3+t)\,y=0
e diz que y_{1},y_{2} são duas soluções independentes cujo Wronskiano em t=2 vale
W(y_{1},y_{2})(2)=3.
Pede-se o valor de W(y_{1},y_{2})(9) com duas casas decimais. Vamos usar a fórmula de Abel para o Wronskiano.

Passo 2

Para aplicar Abel precisamos escrever a ODE em forma padrão
y''+p(t)\,y'+q(t)\,y=0.
Dividindo tudo por t^{2} obtemos
y''-\frac{2}{t^{2}}\,y'+\frac{3+t}{t^{2}}\,y=0,
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p(t)=-\frac{2}{t^{2}}.

Passo 3

A fórmula de Abel diz que o Wronskiano satisfaz
\frac{dW}{dt}+p(t)\,W=0 \quad\Longrightarrow\quad W(t)=C\exp\Bigl(-\!\!\int p(t)\,dt\Bigr).

Passo 4

Aqui
-\int p(t)\,dt =-\int\Bigl(-\frac{2}{t^{2}}\Bigr)\,dt =\int\frac{2}{t^{2}}\,dt =-\frac{2}{t}+K_{0},
portanto
W(t)=C\exp\bigl(-2/t\bigr).
Usando W(2)=3 obtemos
3 = C\exp\bigl(-2/2\bigr) = C\,e^{-1} \quad\Longrightarrow\quad C=3e.
Assim a forma geral é
W(t)=3\,e\;\exp\bigl(-2/t\bigr) =3\exp\bigl(1-\tfrac{2}{t}\bigr).

Passo 5

Agora basta avaliar em t=9:
W(9) =3\exp\!\Bigl(1-\tfrac{2}{9}\Bigr) =3\exp\!\Bigl(\tfrac{7}{9}\Bigr).
Numericamente,
\exp\!\Bigl(\tfrac{7}{9}\Bigr)\approx 2{,}17603 \quad\Longrightarrow\quad W(9)\approx 3\times 2{,}17603=6{,}52809\approx6{,}53.

Resposta

W(y_{1},y_{2})(9)\approx6{,}53

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