Determine (a) o rotacional, (b) o divergente e © o laplaciano do campo vetorial.
Passo 1
O enunciado pede para o campo
encontrarmos: o rotacional (
), o divergente (
) e o laplaciano vetorial (
). Vamos usar as fórmulas clássicas de cálculo vetorial: definição de divergente, definição de rotacional e derivadas parciais para a laplaciana de cada componente.
Passo 2
Definimos
. Assim as componentes são
Para o divergente, usamos
Calculando cada derivada, chega-se a
Passo 3
Para o rotacional, usamos o determinante simulado
Fazendo as contas das derivadas parciais, obtemos
Passo 4
Para o laplaciano vetorial, fazemos componente a componente
onde cada
. Após derivar duas vezes cada
e reunir termos, chega-se aos resultados:
Resposta
(a) rotacional:
(b) divergente:
© laplaciano vetorial:
componente a componente: