Determine (a) o rotacional, (b) o divergente e © o laplaciano do campo vetorial.
F(x, y, z)=1raizx^2 y^2+z^2(x i+y j+z k)

Passo 1

O enunciado pede para o campo F(x,y,z)=dfrac1raizx^2y^2+z^2,(x,,y,,z) encontrarmos: o rotacional ( nablatimes F), o divergente ( nablacdot F) e o laplaciano vetorial ( nabla^2 F). Vamos usar as fórmulas clássicas de cálculo vetorial: definição de divergente, definição de rotacional e derivadas parciais para a laplaciana de cada componente.

Passo 2

Definimos R=raizx^2y^2+z^2. Assim as componentes são
F1=xR, F2=yR, F3=zR
Para o divergente, usamos
nablacdot F=partial F1partial x+partial F2partial y+partial F3partial z
Calculando cada derivada, chega-se a
nablacdot F=x^2y^2+2z^2l(x^2y^2+z^2r)^3/2

Passo 3

Para o rotacional, usamos o determinante simulado
nablatimes F= l(partialyF3-partialzF2,;partialzF1-partialxF3,;partialxF2-partialyF1r)
Fazendo as contas das derivadas parciais, obtemos
nablatimes F=1l(x^2y^2+z^2r)^3/2l( z y,(1-x^2),;x z,(y^2-1),;x y,(x^2-y^2)r)

Passo 4

Para o laplaciano vetorial, fazemos componente a componente
nabla^2 F=igl(nabla^2F1,,nabla^2F2,,nabla^2F3r), 
onde cada nabla^2Fi=partialxxFi+partialyyFi+partialzzFi. Após derivar duas vezes cada Fi e reunir termos, chega-se aos resultados:
nabla^2F1=xl(2x^4y^2 - x^2y^2 - x^2z^2 -3y^2z^2 +2z^2r)(x^2y^2+z^2)^5/2,
nabla^2F2=yl(2x^2y^4 - x^2y^2 - y^2z^2 -3x^2z^2 +2z^2r)(x^2y^2+z^2)^5/2,
nabla^2F3=zl(2x^4y^2+2x^2y^4 -3x^2y^2 - x^2z^2 - y^2z^2r)(x^2y^2+z^2)^5/2

Resposta

(a) rotacional:
nablatimes F=1(x^2y^2+z^2)^3/2l(yz(1-x^2),;xz(y^2-1),;xy(x^2-y^2)r)
(b) divergente:
nablacdot F=x^2y^2+2z^2(x^2y^2+z^2)^3/2
© laplaciano vetorial:
nabla^2 F=l(nabla^2F1,nabla^2F2,nabla^2F3r)
componente a componente:
nabla^2F1=x(2x^4y^2 - x^2y^2 - x^2z^2 -3y^2z^2 +2z^2)(x^2y^2+z^2)^5/2,
nabla^2F2=y(2x^2y^4 - x^2y^2 - y^2z^2 -3x^2z^2 +2z^2)(x^2y^2+z^2)^5/2,
nabla^2F3=z(2x^4y^2+2x^2y^4 -3x^2y^2 - x^2z^2 - y^2z^2)(x^2y^2+z^2)^5/2

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