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lim x 0^+ x^x

Passo 1

Beleza, vamos resolver o limite lim x 0^+ x^x. Esse problema está dentro da matéria de Cálculo, mais especificamente em limites envolvendo funções exponenciais e logaritmos. Para resolver, vamos precisar entender um pouco sobre como manipular expressões exponenciais e aplicar propriedades de limites.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão x^x de uma forma que seja mais fácil de analisar. Sabemos que qualquer expressão do tipo a^b pode ser escrita como e^b ln a. Então, aplicando isso aqui:
x^x = e^x ln x
Isso nos ajuda porque agora podemos focar em encontrar o limite do expoente x ln x quando x tende a 0 pelo lado positivo.

Passo 3

Agora, vamos analisar o limite do expoente:
limx to 0^+ x ln x
Sabemos que quando x se aproxima de 0 pelo lado positivo, ln x tende a -infty. Então, temos uma situação do tipo 0 times (-infty), que é uma forma indeterminada. Para resolver isso, podemos reescrever a expressão para facilitar o cálculo:
x ln x = ln x1/x
Agora, temos a forma -infty+infty, que ainda é indeterminada, mas podemos aplicar a Regra de L’Hôpital, que nos permite derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos aplicar a Regra de L’Hôpital:
limx to 0^+ ln x1/x = limx to 0^+ ddx (ln x)ddx (1/x) = limx to 0^+ 1/x-1/x^2 = limx to 0^+ -x = 0
Então, o limite do expoente x ln x é 0.

Resposta

lim x 0^+ x^x = e^0 = 1

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