Use o Teorema de Green para demonstrar a primeira identidade de Green
integral duplaD f nabla^2 g d A=oint f(nabla g) cdot n d s-integral duplaD nabla f cdot nabla g d A
onde D e C satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de f e g existem e são contínuas.

Passo 1

O enunciado pede para provar que
integral duplaDf,nabla^2g,dA=ointCf(nabla g)cdotn,ds-integral duplaDnabla fcdotnabla g,dA
usando o Teorema de Green. Aqui o conteúdo é cálculo vetorial em 2D, mais especificamente o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green) e a regra do produto para divergência. Vamos precisar que f e g sejam C^2 em D e que D tenha contorno suave C.

Passo 2

Definimos o campo vetorial apropriado para aplicar o Teorema de Green. Seja
F=f,nabla g=(f,gx,,f,gy)
ou seja, as componentes são P=f,gx e Q=f,gy. Com isso a integral de linha no contorno será exatamente
ointCFcdotn,ds=ointCf(nabla g)cdotn,ds

Passo 3

Agora calculamos a divergência de F usando a regra do produto. Em 2D,
nablacdotF=partialpartial x(f,gx)+partialpartial y(f,gy)
Aplicando a regra do produto em cada termo, obtemos
nablacdotF=fx,gx+f,gxx+fy,gy+f,gyy=nabla fcdotnabla g+f,nabla^2g

Passo 4

Pelo Teorema de Green (ou Divergência) em D com contorno C temos
integral duplaDnablacdotF,dA=ointCFcdotn,ds
Substituindo a expressão que encontramos para nablacdotF e para a integral de linha, vem
integral duplaDl(nabla fcdotnabla g+f,nabla^2gr),dA=ointCf(nabla g)cdotn,ds

Passo 5

Basta agora isolar o termo que envolve f,nabla^2g. Subtraindo integral duplaDnabla fcdotnabla g,dA dos dois lados, obtemos exatamente a primeira identidade de Green:
integral duplaDf,nabla^2g,dA=ointCf(nabla g)cdotn,ds-integral duplaDnabla fcdotnabla g,dA

Resposta

A identidade foi demonstrada usando a escolha de F=f,nabla g, o cálculo de nablacdotF e a aplicação do Teorema de Green, chegando a
integral duplaDf,nabla^2g,dA=ointCf(nabla g)cdotn,ds-integral duplaDnabla fcdotnabla g,dA

Exercícios relacionados