Use o Teorema de Green para demonstrar a primeira identidade de Green
onde
e
satisfazem as hipóteses do Teorema de Green e as derivadas parciais apropriadas de
e
existem e são contínuas.
Passo 1
O enunciado pede para provar que
usando o Teorema de Green. Aqui o conteúdo é cálculo vetorial em 2D, mais especificamente o Teorema da Divergência (ou Teorema de Green) e a regra do produto para divergência. Vamos precisar que
e
sejam
em
e que
tenha contorno suave
.
Passo 2
Definimos o campo vetorial apropriado para aplicar o Teorema de Green. Seja
ou seja, as componentes são
e
. Com isso a integral de linha no contorno será exatamente
Passo 3
Agora calculamos a divergência de
usando a regra do produto. Em 2D,
Aplicando a regra do produto em cada termo, obtemos
Passo 4
Pelo Teorema de Green (ou Divergência) em
com contorno
temos
Substituindo a expressão que encontramos para
e para a integral de linha, vem
Passo 5
Basta agora isolar o termo que envolve
. Subtraindo
dos dois lados, obtemos exatamente a primeira identidade de Green:
Resposta
A identidade foi demonstrada usando a escolha de
, o cálculo de
e a aplicação do Teorema de Green, chegando a