Determine o rotacional e o divergente do seguinte vetor:
F(x, y, z)=x z i+x y z j-y^2 k

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacional (também conhecido como curl) e divergente de um campo vetorial. Nosso objetivo é descobrir o rotacional e o divergente do vetor dado:
F(x, y, z) = x z, i + x y z, j - y^2, k
Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do rotacional e do divergente, que basicamente envolvem derivadas parciais das componentes do vetor.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular o divergente do vetor F. O divergente é uma operação que nos dá uma medida de quão “espalhado” ou “convergente” o campo vetorial está em um ponto. A fórmula para o divergente é:
div, F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
Onde Fx, Fy e Fz são as componentes do vetor F nas direções i, j e k, respectivamente.
No nosso caso:
  • Fx = x z
  • Fy = x y z
  • Fz = -y^2
Vamos calcular cada derivada parcial:
  1. partial Fxpartial x = partialpartial x (x z) = z
  2. partial Fypartial y = partialpartial y (x y z) = x z
  3. partial Fzpartial z = partialpartial z (-y^2) = 0 (já que y^2 não depende de z)
Agora, somando essas derivadas:
div, F = z + x z + 0 = z (1 + x)

Passo 3

Agora, vamos calcular o rotacional do vetor F. O rotacional nos dá uma ideia de quanto o campo vetorial está “girando” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
curl, F = ( partial Fzpartial y - partial Fypartial z )i + ( partial Fxpartial z - partial Fzpartial x )j + ( partial Fypartial x - partial Fxpartial y )k
Vamos calcular cada termo:
  1. partial Fzpartial y = partialpartial y (-y^2) = -2y
  2. partial Fypartial z = partialpartial z (x y z) = x y
  3. partial Fxpartial z = partialpartial z (x z) = x
  4. partial Fzpartial x = partialpartial x (-y^2) = 0 (já que y^2 não depende de x)
  5. partial Fypartial x = partialpartial x (x y z) = y z
  6. partial Fxpartial y = partialpartial y (x z) = 0 (já que x z não depende de y)
Agora, substituindo na fórmula:
  • Componente i:
    -2y - x y = -x y - 2y = -y(x + 2)
  • Componente j:
    x - 0 = x
  • Componente k:
    y z - 0 = y z
Então, o rotacional fica:
curl, F = -y(x + 2), i + x, j + y z, k

Resposta

O divergente do vetor F é:
div, F = z (1 + x)
E o rotacional do vetor F é:
curl, F = -y(x + 2), i + x, j + y z, k

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