Determine o rotacional e o divergente do seguinte vetor:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um exercício de cálculo vetorial, especificamente sobre rotacional (também conhecido como curl) e divergente de um campo vetorial. Nosso objetivo é descobrir o rotacional e o divergente do vetor dado:
Para isso, vamos precisar usar as fórmulas do rotacional e do divergente, que basicamente envolvem derivadas parciais das componentes do vetor.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o divergente do vetor
. O divergente é uma operação que nos dá uma medida de quão “espalhado” ou “convergente” o campo vetorial está em um ponto. A fórmula para o divergente é:
Onde
,
e
são as componentes do vetor
nas direções
,
e
, respectivamente.
No nosso caso:
Vamos calcular cada derivada parcial:
-
-
-
(já que não depende de )
Agora, somando essas derivadas:
Passo 3
Agora, vamos calcular o rotacional do vetor
. O rotacional nos dá uma ideia de quanto o campo vetorial está “girando” em torno de um ponto. A fórmula para o rotacional é:
Vamos calcular cada termo:
-
-
-
-
(já que não depende de ) -
-
(já que não depende de )
Agora, substituindo na fórmula:
-
Componente
: -
Componente
: -
Componente
:
Então, o rotacional fica:
Resposta
O divergente do vetor
é:
E o rotacional do vetor
é: