Use a definição e determine a integral de linha \int 3 x d x+2 x y d y+z d z se a curva C for a hélice circular definida pelas equações paramétricas x=\cos (t), y=\operatorname{sen}(t) e z= t, \quad(0 \leq t \leq 2 \pi).
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
A forma diferencial é \omega=3x\,dx+2xy\,dy+z\,dz.
A parametrização da curva C é \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) para t\in[0,2\pi].
O pedido é calcular o valor numérico da integral de linha dessa forma diferencial ao longo de C.
Passo 2
Definição que vamos usar (explicando direitinho):
Se \omega=P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz e a curva C tem parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t\in[a,b], então a integral de linha é
Multiplica-se cada P por x', Q por y', R por z' e integra-se de a até b.
Passo 3
Aplicando a definição ao nosso caso:
Aqui P(x,y,z)=3x,\;Q(x,y,z)=2xy,\;R(x,y,z)=z.
A parametrização é x(t)=\cos t,\;y(t)=\sin t,\;z(t)=t. Então as derivadas são
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t,\qquad z'(t)=1.
Passo 4
Substituindo em \displaystyle\int_a^b\bigl(Px'+Qy'+Rz'\bigr)\,dt obtemos o integrando:
I=\int_0^{2\pi}\bigl(-3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t\bigr)\,dt.
Faço a substituição u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, isto é \sin t\,dt=-du.
Quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=2\pi temos u=\cos(2\pi)=1. Assim os limites de u vão de 1 a 1.
Aplicando a substituição termo a termo:
Como os limites em u são iguais, cada integral vale 0. Logo I=0+0=0.
(Outra maneira de ver: cada integrando é a derivada de uma função de \cos t, e sobre um período inteiro a contribuição é zero porque a função retorna ao mesmo valor.)]
Passo 7
Somando as partes obtidas:
\int_0^{2\pi}\bigl(-3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t + t\bigr)\,dt = 0 + 2\pi^2 = 2\pi^2.
Portanto o valor da integral de linha pedida é 2\pi^2.