Use a definição e determine a integral de linha \int 3 x d x+2 x y d y+z d z se a curva C for a hélice circular definida pelas equações paramétricas x=\cos (t), y=\operatorname{sen}(t) e z= t, \quad(0 \leq t \leq 2 \pi).

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\int_C 3x\,dx + 2xy\,dy + z\,dz
onde a curva C é a hélice circular dada por
x=\cos(t),\quad y=\sin(t),\quad z=t,\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações dadas que vou usar:
  • A forma diferencial é \omega=3x\,dx+2xy\,dy+z\,dz.
  • A parametrização da curva C é \mathbf{r}(t)=(\cos t,\sin t,t) para t\in[0,2\pi].
    O pedido é calcular o valor numérico da integral de linha dessa forma diferencial ao longo de C.

Passo 2

Definição que vamos usar (explicando direitinho):
Se \omega=P(x,y,z)\,dx+Q(x,y,z)\,dy+R(x,y,z)\,dz e a curva C tem parametrização \mathbf{r}(t)=(x(t),y(t),z(t)) para t\in[a,b], então a integral de linha é
\int_C \omega=\int_a^b \bigl(P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t)+R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t)\bigr)\,dt.
O que isso significa, na prática:
  • Calcula-se as derivadas x'(t),y'(t),z'(t).
  • Substitui-se x(t),y(t),z(t) nas funções P,Q,R.
  • Multiplica-se cada P por x', Q por y', R por z' e integra-se de a até b.

Passo 3

Aplicando a definição ao nosso caso:
Aqui P(x,y,z)=3x,\;Q(x,y,z)=2xy,\;R(x,y,z)=z.
A parametrização é x(t)=\cos t,\;y(t)=\sin t,\;z(t)=t. Então as derivadas são
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t,\qquad z'(t)=1.

Passo 4

Substituindo em \displaystyle\int_a^b\bigl(Px'+Qy'+Rz'\bigr)\,dt obtemos o integrando:
\begin{aligned} P(x(t),y(t),z(t))\,x'(t) &= 3\cos t\cdot(-\sin t)=-3\cos t\sin t,\\[4pt] Q(x(t),y(t),z(t))\,y'(t) &= 2\cos t\sin t\cdot\cos t=2\cos^2 t\sin t,\\[4pt] R(x(t),y(t),z(t))\,z'(t) &= t\cdot 1 = t. \end{aligned}
Somando,
\text{integrando} = -3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t + t.
Portanto a integral de linha vira
\int_0^{2\pi}\bigl(-3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t + t\bigr)\,dt.]

Passo 5

Separei a integral em duas partes (mais fácil de entender):
\int_0^{2\pi}\bigl(-3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t\bigr)\,dt \quad+\quad \int_0^{2\pi} t\,dt.
Vou calcular cada parte. Primeiro a parte simples:
\int_0^{2\pi} t\,dt = \left.\frac{t^2}{2}\right|_{0}^{2\pi} = \frac{(2\pi)^2}{2}-0 = 2\pi^2.

Passo 6

Agora a parte trigonométrica
I=\int_0^{2\pi}\bigl(-3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t\bigr)\,dt.
Faço a substituição u=\cos t. Então du=-\sin t\,dt, isto é \sin t\,dt=-du.
Quando t=0 temos u=\cos 0=1; quando t=2\pi temos u=\cos(2\pi)=1. Assim os limites de u vão de 1 a 1.
Aplicando a substituição termo a termo:
\begin{aligned} \int_0^{2\pi} -3\cos t\sin t\,dt &= -3\int_{t=0}^{2\pi} \cos t\sin t\,dt = -3\int_{u=1}^{1} u(-du) = 3\int_{1}^{1} u\,du = 0,\\[4pt] \int_0^{2\pi} 2\cos^2 t\sin t\,dt &= 2\int_{t=0}^{2\pi} \cos^2 t\sin t\,dt = 2\int_{u=1}^{1} u^2(-du) = -2\int_{1}^{1} u^2\,du = 0. \end{aligned}
Como os limites em u são iguais, cada integral vale 0. Logo I=0+0=0.
(Outra maneira de ver: cada integrando é a derivada de uma função de \cos t, e sobre um período inteiro a contribuição é zero porque a função retorna ao mesmo valor.)]

Passo 7

Somando as partes obtidas:
\int_0^{2\pi}\bigl(-3\cos t\sin t + 2\cos^2 t\sin t + t\bigr)\,dt = 0 + 2\pi^2 = 2\pi^2.
Portanto o valor da integral de linha pedida é 2\pi^2.

Resposta

2\pi^2

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