Determine o rotacional
F(x, y, z)=(x^2-z^2) imath+2 jmath+2 x z k

Passo 1

O exercício pede para calcular o rotacional (curl) do campo vetorial F(x,y,z)=(x^2 - z^2),hatimath + 2,hatjmath + 2xz,hat k. Isso faz parte do conteúdo de cálculo vetorial, em especial operações diferenciais em campos 3D. Vamos usar a definição do rotacional e derivar as componentes apropriadas.

Passo 2

A definição do rotacional de um campo F=(P,Q,R) é dada por:
nabla times F = (partial Rpartial y - partial Qpartial z),hatimath + (partial Ppartial z - partial Rpartial x),hatjmath + (partial Qpartial x - partial Ppartial y),hat k
Aqui identificamos P=x^2 - z^2, Q=2 e R=2xz, e vamos calcular as seis derivadas parciais.

Passo 3

Calculando as derivadas:
  • partial Rpartial y=partial (2xz)partial y=0
  • partial Qpartial z=partial (2)partial z=0
  • partial Ppartial z=partial (x^2 - z^2)partial z=-2z
  • partial Rpartial x=partial (2xz)partial x=2z
  • partial Qpartial x=partial (2)partial x=0
  • partial Ppartial y=partial (x^2 - z^2)partial y=0
    Substituindo na fórmula do rotacional, obtemos as componentes:

Passo 4

Portanto o rotacional do campo F é paralelo ao eixo y e proporcional a -4z. Confira que todas as etapas de derivação e soma estão coerentes.

Resposta

nabla times F = -4z,hatjmath

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