Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de t crescente:
F=z i+x j+y k Curva: r(t)=(sen t) i+(cos t) j+t k com 0 <= t <= 2 pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o trabalho realizado pelo vetor ao longo da curva para . Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha, que medem o trabalho feito por um campo vetorial ao se mover ao longo de uma curva.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender que o trabalho W = integralC F cdot dr realizado por um campo vetorial ao longo de uma curva é dado pela integral de linha:
Onde:
  • é o campo vetorial.
  • é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva .

Passo 3

Vamos parametrizar a curva usando drdt = cos t,i - sin t,j + 1,k . A curva já está dada por . O próximo passo é encontrar a derivada de em relação a , que nos dá o vetor tangente à curva:
Então, .

Passo 4

Agora, precisamos expressar o campo vetorial F(t) = z,i + x,j + y,k = t,i + sin t,j + cos t,k em termos de . Substituindo as coordenadas da curva na expressão de :

Passo 5

Com F cdot drdt = (t,i + sin t,j + cos t,k) cdot (cos t,i - sin t,j + 1,k) e = t cos t + sin t (-sin t) + cos t (1) expressos em termos de = t cos t - sin^2 t + cos t , podemos calcular o produto escalar :

Passo 6

Agora, o trabalho W = integral0^2pi ( t cos t - sin^2 t + cos t ) dt é a integral dessa expressão de a :
Vamos resolver cada termo separadamente.

Passo 7

Primeiro, integramos integral t cos t , dt = cos t cdot t + sin t :
Usando a integração por partes.

Passo 8

Segundo, integramos integral -sin^2 t , dt = -12 integral (1 - cos 2t) dt = -12 t + 14 sin 2t . Lembrando que :

Passo 9

Terceiro, integramos integral cos t , dt = sin t :

Passo 10

Agora, somamos todas as integrais e avaliamos de W = [ t cos t + sin t - 12 t + 14 sin 2t + sin t ]0^2pi a W = [ ( cos t )( t ) + 2 sin t - 12 t + 14 sin 2t ]0^2pi :
Simplificando:

Passo 11

Agora, substituímos 2pi cos (2pi) + 2 sin (2pi) - 12 (2pi) + 14 sin (4pi) = 2pi(1) + 0 - pi + 0 = 2pi - pi = pi e 0 cdot cos 0 + 2 sin 0 - 12 (0) + 14 sin 0 = 0 + 0 - 0 + 0 = 0 :
Para :
Para :

Resposta

Portanto, o trabalho realizado por W = pi ao longo da curva é:

Exercícios relacionados