Encontre o trabalho realizado por F sobre a curva na direção de
crescente:
Curva:
com
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o trabalho realizado pelo vetor
ao longo da curva
para
. Isso envolve conceitos de cálculo vetorial, especificamente o cálculo de integrais de linha, que medem o trabalho feito por um campo vetorial ao se mover ao longo de uma curva.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender que o trabalho
realizado por um campo vetorial
ao longo de uma curva
é dado pela integral de linha:
Onde:
-
é o campo vetorial. -
é o vetor diferencial de deslocamento ao longo da curva .
Passo 3
Vamos parametrizar a curva usando
. A curva já está dada por
. O próximo passo é encontrar a derivada de
em relação a
, que nos dá o vetor tangente à curva:
Então,
.
Passo 4
Agora, precisamos expressar o campo vetorial
em termos de
. Substituindo as coordenadas da curva na expressão de
:
Passo 5
Com
e
expressos em termos de
, podemos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Agora, o trabalho
é a integral dessa expressão de
a
:
Vamos resolver cada termo separadamente.
Passo 7
Primeiro, integramos
:
Usando a integração por partes.
Passo 8
Segundo, integramos
. Lembrando que
:
Passo 9
Terceiro, integramos
:
Passo 10
Agora, somamos todas as integrais e avaliamos de
a
:
Simplificando:
Passo 11
Agora, substituímos
e
:
Para
:
Para
:
Resposta
Portanto, o trabalho realizado por
ao longo da curva é: