Determine o rotacional
H(x, y, z)=(x+y) imath+(-x+y) jmath-2 z k

Passo 1

O enunciado pede pra gente calcular o rotacional do campo vetorial H(x,y,z)=(x+y),hatimath+(-x+y),hatjmath-2z,hat k. O conteúdo aqui é cálculo vetorial, mais especificamente usar o operador rotacional (ou rotor) definido pelo nabla cruz H.

Passo 2

Para usar a definição, montamos o determinante com o operador nabla e as componentes de H:
nablatimes H= hatimath & hatjmath & hat k partialpartial x & partialpartial y & partialpartial z x+y & -x+y & -2z
Isso nos diz como calcular cada componente do rotacional.

Passo 3

Agora vamos achar cada componente usando derivadas parciais:
  • Componente hatimath:
    partial(-2z)partial y-partial(-x+y)partial z=0-0=0.
  • Componente hatjmath:
    partial(-2z)partial x-partial(x+y)partial z=0-0=0, mas lembrando o sinal menos na fórmula, fica 0.
  • Componente hat k:
    partial(-x+y)partial x-partial(x+y)partial y=-1-1=-2.

Passo 4

Juntando tudo, o rotacional do campo é
nablatimes H=0,hatimath+0,hatjmath-2,hat k=-2,hat k

Resposta

-2,hat k

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