Determine o rotacional
F(x, y, z)=x z imath+x y z jmath+y^2 k

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A pergunta é para determinar o rotacional do campo vetorial $ F(x, y, z) = x z \hat{\imath} + x y z \hat{\jmath} + y^{2} \hat{k} $. O conteúdo que vamos usar aqui é o do rotacional de um campo vetorial, que nos ajuda a entender a tendência de um campo “girar” em torno de um ponto. Para isso, precisamos saber calcular derivadas parciais das componentes do campo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial $ F = P \hat{\imath} + Q \hat{\jmath} + R \hat{k} $:
F = P imath + Q jmath + R k
Aqui, $ P = xz $, $ Q = xyz $ e $ R = y^{2} $.

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
  1. Para a componente $ \hat{\imath} $:
    • $ \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial y^{2}}{\partial y} = 2y $
    • $ \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial (x y z)}{\partial z} = x y $
  2. Para a componente $ \hat{\jmath} $:
    • $ \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial (x z)}{\partial z} = x $
    • $ \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial y^{2}}{\partial x} = 0 $ (já que $ y^{2} $ não depende de $ x $)
  3. Para a componente $ \hat{k} $:
    • $ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (x y z)}{\partial x} = y z $
    • $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x z)}{\partial y} = 0 $ (já que $ x z $ não depende de $ y $)

Passo 4

Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
  1. Componente $ \hat{\imath} $:
    imath
  2. Componente $ \hat{\jmath} $:
    2y - x y = 2y - x y
  3. Componente $ \hat{k} $:
    jmath

Resposta

Portanto, o rotacional do campo vetorial $ F $ é:
F

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