Determine o rotacional
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de cálculo vetorial! A pergunta é para determinar o rotacional do campo vetorial $ F(x, y, z) = x z \hat{\imath} + x y z \hat{\jmath} + y^{2} \hat{k} $. O conteúdo que vamos usar aqui é o do rotacional de um campo vetorial, que nos ajuda a entender a tendência de um campo “girar” em torno de um ponto. Para isso, precisamos saber calcular derivadas parciais das componentes do campo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula para calcular o rotacional de um campo vetorial $ F = P \hat{\imath} + Q \hat{\jmath} + R \hat{k} $:
Aqui, $ P = xz $, $ Q = xyz $ e $ R = y^{2} $.
Passo 3
Vamos calcular cada uma das derivadas parciais necessárias:
-
Para a componente $ \hat{\imath} $:
- $ \frac{\partial R}{\partial y} = \frac{\partial y^{2}}{\partial y} = 2y $
- $ \frac{\partial Q}{\partial z} = \frac{\partial (x y z)}{\partial z} = x y $
-
Para a componente $ \hat{\jmath} $:
- $ \frac{\partial P}{\partial z} = \frac{\partial (x z)}{\partial z} = x $
- $ \frac{\partial R}{\partial x} = \frac{\partial y^{2}}{\partial x} = 0 $ (já que $ y^{2} $ não depende de $ x $)
-
Para a componente $ \hat{k} $:
- $ \frac{\partial Q}{\partial x} = \frac{\partial (x y z)}{\partial x} = y z $
- $ \frac{\partial P}{\partial y} = \frac{\partial (x z)}{\partial y} = 0 $ (já que $ x z $ não depende de $ y $)
Passo 4
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula do rotacional:
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Componente $ \hat{\imath} $:
-
Componente $ \hat{\jmath} $:
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Componente $ \hat{k} $:
Resposta
Portanto, o rotacional do campo vetorial $ F $ é: