Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
f(x, y)=x^{3} y^{2}-x^{3} y ;\quad f_{x x}, f_{y y}

Passo 1

O enunciado dá a função f(x,y)=x^{3}y^{2}-x^{3}y e pede as derivadas parciais de segunda ordem f_{xx} e f_{yy}.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
  • A função depende de duas variáveis, x e y.
  • Precisamos da derivada parcial segunda em relação a x, isto é f_{xx}.
  • Precisamos da derivada parcial segunda em relação a y, isto é f_{yy}.

Passo 2

O que é derivada parcial e quais regras vamos usar (em linguagem simples):
  • A derivada parcial de f em relação a x, escrita f_{x}, é a derivada quando variamos x e mantemos y fixo (tratamos y como constante).
  • Similarmente, f_{y} é obtida variando y e mantendo x fixo.
  • Regras que usaremos:
    • Regra do fator constante: se temos uma função g(x)=c\cdot h(x) com c constante (pode ser expressão em y quando derivamos em x), então g'(x)=c\cdot h'(x).
    • Regra da potência: \dfrac{d}{dx}\big(x^{n}\big)=n\,x^{n-1}.
  • Aplicação prática: ao derivar em x termos com y são constantes; ao derivar em y termos com x são constantes.

Passo 3

Calcular f_{x} (primeira derivada parcial em relação a x) passo a passo:
  • Reescrevo a função factorizando em relação a x: f(x,y)=x^{3}\big(y^{2}-y\big).Aqui, ao derivar em x, o fator \big(y^{2}-y\big) é constante.
  • Uso a regra da potência sobre x^{3}: \dfrac{\partial}{\partial x}\big(x^{3}\big)=3x^{2}.
  • Aplicando a regra do fator constante: f_{x}=3x^{2}\big(y^{2}-y\big).
  • Se quiser ampliar (opcional para ver a forma expandida): f_{x}=3x^{2}y^{2}-3x^{2}y.

Passo 4

Calcular f_{xx} (segunda derivada parcial em relação a x):
  • Parto de f_{x}=3x^{2}\big(y^{2}-y\big).
  • Ao derivar novamente em x, \big(y^{2}-y\big) permanece constante.
  • Derivada de 3x^{2} pelo operador \dfrac{\partial}{\partial x} é 6x, pois uso a regra da potência: \dfrac{\partial}{\partial x}\big(3x^{2}\big)=3\cdot 2x=6x.
  • Portanto f_{xx}=6x\big(y^{2}-y\big).
  • Expandindo (opcional): f_{xx}=6x y^{2}-6x y.

Passo 5

Calcular f_{y} (primeira derivada parcial em relação a y) passo a passo:
  • Parto da forma original f(x,y)=x^{3}y^{2}-x^{3}y e fatoro x^{3} (agora x^{3} é constante ao derivar em y): f(x,y)=x^{3}\big(y^{2}-y\big).
  • Derivo \big(y^{2}-y\big) em relação a y usando a regra da potência: \dfrac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}-y\big)=2y-1.
  • Aplicando a regra do fator constante: f_{y}=x^{3}\big(2y-1\big).

Passo 6

Calcular f_{yy} (segunda derivada parcial em relação a y):
  • Parto de f_{y}=x^{3}\big(2y-1\big).
  • Ao derivar em y, x^{3} é constante, e a derivada de \big(2y-1\big) é 2.
  • Portanto f_{yy}=x^{3}\cdot 2.
  • Ou de forma simplificada: f_{yy}=2x^{3}.

Resposta

f_{xx}=6x y^{2}-6x y\n
f_{yy}=2x^{3}

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