Determine a(s) derivada(s) parcial(is) indicada(s).
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede as derivadas parciais de segunda ordem
e
.
Informações relevantes que já temos do enunciado:
- A função depende de duas variáveis,
e . - Precisamos da derivada parcial segunda em relação a
, isto é . - Precisamos da derivada parcial segunda em relação a
, isto é .
Passo 2
O que é derivada parcial e quais regras vamos usar (em linguagem simples):
- A derivada parcial de
em relação a , escrita , é a derivada quando variamos e mantemos fixo (tratamos como constante). - Similarmente,
é obtida variando e mantendo fixo. - Regras que usaremos:
- Regra do fator constante: se temos uma função
com constante (pode ser expressão em quando derivamos em ), então . - Regra da potência:
.
- Regra do fator constante: se temos uma função
- Aplicação prática: ao derivar em
termos com são constantes; ao derivar em termos com são constantes.
Passo 3
Calcular
(primeira derivada parcial em relação a
) passo a passo:
- Reescrevo a função factorizando em relação a
: Aqui, ao derivar em , o fator é constante. - Uso a regra da potência sobre
: - Aplicando a regra do fator constante:
- Se quiser ampliar (opcional para ver a forma expandida):
Passo 4
Calcular
(segunda derivada parcial em relação a
):
- Parto de
. - Ao derivar novamente em
, permanece constante. - Derivada de
pelo operador é , pois uso a regra da potência: - Portanto
- Expandindo (opcional):
Passo 5
Calcular
(primeira derivada parcial em relação a
) passo a passo:
- Parto da forma original
e fatoro (agora é constante ao derivar em ): - Derivo
em relação a usando a regra da potência: - Aplicando a regra do fator constante:
Passo 6
Calcular
(segunda derivada parcial em relação a
):
- Parto de
. - Ao derivar em
, é constante, e a derivada de é . - Portanto
- Ou de forma simplificada: