Determine o comprimento da curva r(t) = < 2 t^(3/2), cos(2t), sen(2t) >, 0 <= t <= 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o comprimento da curva definida por no intervalo de de 0 a 1. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente do tópico de comprimento de curvas parametrizadas. Vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva , o comprimento L da curva de a é dado por:
Onde é a derivada da função r em relação a t, e é o módulo (ou norma) dessa derivada.

Passo 3

Vamos encontrar a derivada da nossa função .
Derivando cada componente:
  • A derivada de em relação a é t.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é .
Então,

Passo 4

Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada, . A fórmula para o módulo de um vetor é .
Aplicando isso:
Simplificando cada termo:
Então,

Passo 5

Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Note que pode ser fatorado:
Porque para qualquer .
Então, a expressão fica:

Passo 6

Agora, temos tudo que precisamos para calcular o comprimento L da curva de a :
Vamos resolver essa integral.

Passo 7

Para resolver a integral , vamos fazer uma substituição simples. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Voltando para t:

Passo 8

Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando os valores:
  • Para :
  • Para :
Então,

Resposta

O comprimento da curva é unidades.

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