Determine o comprimento da curva
,
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa descobrir o comprimento da curva definida por no intervalo de
de 0 a 1. Isso faz parte do estudo de cálculo, mais especificamente do tópico de comprimento de curvas parametrizadas. Vamos usar a fórmula do comprimento de uma curva no espaço tridimensional para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula para calcular o comprimento de uma curva parametrizada. Se temos uma curva
, o comprimento
da curva de
a
é dado por:
Onde
é a derivada da função r em relação a t, e
é o módulo (ou norma) dessa derivada.
Passo 3
Vamos encontrar a derivada
da nossa função .
Derivando cada componente:
- A derivada de
em relação a é . - A derivada de
é . - A derivada de é
.
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular o módulo dessa derivada,
. A fórmula para o módulo de um vetor
é
.
Aplicando isso:
Simplificando cada termo:
Então,
Passo 5
Vamos simplificar a expressão dentro da raiz. Note que pode ser fatorado:
Porque para qualquer
.
Então, a expressão fica:
Passo 6
Agora, temos tudo que precisamos para calcular o comprimento
da curva de
a
:
Vamos resolver essa integral.
Passo 7
Para resolver a integral
, vamos fazer uma substituição simples. Vamos definir:
Substituindo na integral:
Voltando para
:
Passo 8
Agora, aplicamos os limites de integração de 0 a 1:
Calculando os valores:
- Para
: - Para
:
Então,
Resposta
O comprimento da curva é
unidades.