Determine o(s) ponto(s) do gráfico de f(theta)=(sen theta)^2+cos theta, para theta in[0, pi], onde ocorre (m) máximo(s) absoluto(s) e também aquele(s) onde ocorre(m) mínimo(s) absoluto(s).

Passo 1

O enunciado pede para encontrar os extremos absolutos da função
f(theta)=sin^2theta+costheta
no intervalo [0,pi].
Para isso vamos usar cálculo de derivadas para achar pontos críticos (onde f'(theta)=0) e comparar os valores de f nesses pontos e nos extremos do intervalo.

Passo 2

Calculamos a derivada de f.
Como sin^2theta=(sintheta)^2, pela regra da cadeia e a derivada de costheta temos
f'(theta) =2sinthetacdotcostheta - sintheta =sintheta,(2costheta - 1)

Passo 3

Para achar os pontos críticos, igualamos f'(theta)=0:
sintheta,(2costheta - 1)=0
Isso ocorre quando
sintheta=0 ou 2costheta-1=0.
No intervalo [0,pi] temos
sintheta=0 em theta=0 e theta=pi,
e
costheta=tfrac12 em theta=tfracpi3.

Passo 4

Agora avaliamos f em theta=0,tfracpi3,pi:
f(0)=sin^2(0)+cos(0)=0+1=1,
fl(tfracpi3r) =sin^2!l(tfracpi3r)+cos!l(tfracpi3r) =l(raiz32r)^2 + 12 =34 + 12 =54,
f(pi)=sin^2(pi)+cos(pi)=0-1=-1

Passo 5

Comparando os valores
f(0)=1, fl(tfracpi3r)=54, f(pi)=-1,
vemos que o valor máximo é tfrac54 em theta=tfracpi3 e o valor mínimo é -1 em theta=pi.

Resposta

O máximo absoluto ocorre em theta=tfracpi3, com fl(tfracpi3r)=tfrac54.
O mínimo absoluto ocorre em theta=pi, com f(pi)=-1.

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