Questão 1 ( 2,0 pontos)
Considere a função definida por f(x)=|4-2 x|x-1.
a) Escreva f(x) como uma função definida por partes, sem usar valor absoluto.
b) O gráfico de f(x) possui assíntota(s) horizontal(ais)? Justifique e, em caso afirmativo, forneça a equação da(s) mesma(s).
c) O gráfico de f(x) possui assíntota(s) vertical(ais)? Justifique e, em caso afirmativo, forneça a equação da(s) mesma(s).

Passo 1

O enunciado trata da função
f(x)=lvert 4-2xrvertx-1
e pede:
a) reescrever f em forma de função definida por partes, eliminando o valor absoluto;
b) encontrar assíntotas horizontais, se houver, justificando com limites;
c) encontrar assíntotas verticais, se houver, justificando com limites.
Vamos usar o conceito de valor absoluto (casos em que o argumento é não negativo ou negativo) e limites no infinito e em pontos de descontinuidade.

Passo 2

Para eliminar o valor absoluto em lvert 4-2xrvert, observamos o zero do argumento em
4-2x=0Longrightarrow x=2
Então temos dois casos:
  • Se x<2, então 4-2x>0 e lvert 4-2xrvert = 4-2x.
  • Se x>2, então 4-2x<0 e lvert 4-2xrvert = -(4-2x)=2x-4.

Passo 3

Substituindo em cada caso, com domínio xneq1, obtemos
f(x)= 4-2xx-1,& x<2,[1em] 2x-4x-1,& x>2 ]

Passo 4

Assíntotas horizontais vêm dos limites em pminfty.
Para xto+infty usamos a expressão válida em (2,infty):
2x-4x-1 =2;x-2x-1 =2l(1-1x-1r) ;longrightarrow;2
Para xto-infty usamos a expressão válida em (-infty,2):
4-2xx-1 =-2(x-2)x-1 =-2;x-2x-1 =-2l(1-1x-1r) ;longrightarrow;-2
Portanto há duas assíntotas horizontais:
y=2 e y=-2

Passo 5

Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera e o numerador não zera simultaneamente.
O denominador x-1 anula-se em x=1, e lvert4-2cdot1rvert=2neq0.
Próximo a x=1, f(x)approx 2/(x-1) tende a pminfty.
Logo existe uma assíntota vertical em
x=1

Resposta

a)
f(x)= 4-2xx-1,& x<2,[0.5em] 2x-4x-1,& x>2,
domínio xneq1.
b) Sim.
Assíntotas horizontais:
y=-2 (,xto-infty), y=2 (,xto+infty)
c) Sim.
Assíntota vertical:
x=1 ]

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