Questão 1 ( 2,0 pontos)
Considere a função definida por .
a) Escreva como uma função definida por partes, sem usar valor absoluto.
b) O gráfico de possui assíntota(s) horizontal(ais)? Justifique e, em caso afirmativo, forneça a equação da(s) mesma(s).
c) O gráfico de possui assíntota(s) vertical(ais)? Justifique e, em caso afirmativo, forneça a equação da(s) mesma(s).
Passo 1
O enunciado trata da função
e pede:
a) reescrever em forma de função definida por partes, eliminando o valor absoluto;
b) encontrar assíntotas horizontais, se houver, justificando com limites;
c) encontrar assíntotas verticais, se houver, justificando com limites.
Vamos usar o conceito de valor absoluto (casos em que o argumento é não negativo ou negativo) e limites no infinito e em pontos de descontinuidade.
Passo 2
Para eliminar o valor absoluto em , observamos o zero do argumento em
Então temos dois casos:
Se , então e .
Se , então e .
Passo 3
Substituindo em cada caso, com domínio , obtemos
]
Passo 4
Assíntotas horizontais vêm dos limites em pminfty.
Para xto+infty usamos a expressão válida em (2,infty):
2x-4x-1 =2;x-2x-1 =2l(1-1x-1r) ;longrightarrow;2
Para xto-infty usamos a expressão válida em (-infty,2):
Assíntotas verticais ocorrem onde o denominador zera e o numerador não zera simultaneamente.
O denominador x-1 anula-se em x=1, e lvert4-2cdot1rvert=2neq0.
Próximo a x=1, f(x)approx 2/(x-1) tende a pminfty.
Logo existe uma assíntota vertical em