Questão 4. Resolva os PVIs:
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isto é um PVI de segunda ordem, linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular do não-homogêneo.
Passo 2
Equação homogênea associada:
A equação característica é
logo há raiz dupla
. Assim a solução complementar é
Passo 3
Procuramos uma solução particular
tal que
Dividimos em duas partes:
- Para o termo
: como é raiz dupla, usamos o ansatz
Aplicando o operador
e sabendo que
, se
então
Comparando coeficientes:
Logo
- Para o termo constante
: como não é raiz da característica, tentamos
então
Assim
Portanto
Passo 4
A solução geral do não-homogêneo é
Calculamos
:
mas para aplicar as condições iniciais basta saber
Da primeira
. Substituindo na segunda:
dá
.
Passo 5
Juntando tudo, a solução do PVI é