Questão 4. Resolva os PVIs:
ly^prime prime-2 y^prime+y=t e^t+4 y(0)=0 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
Isto é um PVI de segunda ordem, linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea e depois uma solução particular do não-homogêneo.

Passo 2

Equação homogênea associada:
y''-2y'+y=0
A equação característica é
r^2-2r+1=0;Longrightarrow;(r-1)^2=0,
logo há raiz dupla r=1. Assim a solução complementar é
yc(t)=C1e^t+C2,t,e^t

Passo 3

Procuramos uma solução particular yp tal que
yp''-2yp'+yp=t e^t+4
Dividimos em duas partes:
  1. Para o termo t e^t: como e^t é raiz dupla, usamos o ansatz
yp1(t)=t^2(A,t + B)e^t = (A,t^3+B,t^2)e^t
Aplicando o operador L[y]=(D^2-2D+1)[y] e sabendo que (D-1)^2[P(t)e^t]=P''(t)e^t, se P(t)=A t^3+B t^2 então
L[yp1]=P''(t)e^t=(6A,t+2B)e^t=t e^t
Comparando coeficientes:
6A=1;Longrightarrow;A=tfrac16, 2B=0;Longrightarrow;B=0
Logo
yp1(t)=tfrac16t^3e^t
  1. Para o termo constante 4: como 0 não é raiz da característica, tentamos
yp2(t)=D,
então
yp2''-2yp2'+yp2=0-0+D=D=4 ;Longrightarrow; D=4
Assim
yp2(t)=4
Portanto
yp(t)=yp1(t)+yp2(t)=tfrac16t^3e^t+4

Passo 4

A solução geral do não-homogêneo é
y(t)=yc(t)+yp(t) =C1e^t+C2t e^t+tfrac16t^3e^t+4
Calculamos y'(t):
y'(t) =e^tl[C1+C2+C2t+tfrac16t^3+(tfrac12t^2)]+0,
mas para aplicar as condições iniciais basta saber
y(0)=C1+4=0, y'(0)=C1+C2=1
Da primeira C1=-4. Substituindo na segunda: -4+C2=1 C2=5.

Passo 5

Juntando tudo, a solução do PVI é
boxedy(t)=e^tl(tfrac16t^3+5t-4r)+4

Resposta

y(t)=e^tl(tfrac16t^3+5t-4r)+4

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