Questão 4. Resolva os PVIs:
ly^prime prime+y^prime-2 y=2 t y(0)=0 ; y^prime(0)=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver o PVI
y'' + y' - 2y = 2t, y(0)=0,;y'(0)=1.
O conteúdo é equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes; vamos encontrar a solução geral como
;y(t)=yh(t)+yp(t),
onde yh é solução da homogênea e yp uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea consideramos a equação característica
r^2 + r - 2 = 0
As raízes são
r = -1 pm raiz1 + 82 = 1,;-2
Logo
yh(t) = C1 e^t + C2 e^-2t

Passo 3

Procuramos yp polinomial de grau 1:
yp(t) = A,t + B, yp'(t)=A, yp''(t)=0
Substituindo em y''+y'-2y=2t:
0 + A -2,(A t + B) = 2t ;Longrightarrow; -2A,t + (A - 2B) = 2t
Igualando coeficientes de t e constantes:
-2A = 2 Rightarrow A = -1, A - 2B = 0 Rightarrow B = -tfrac12
Assim
yp(t) = -t - tfrac12

Passo 4

A solução geral é
Calculamos
Condições iniciais:
Resolvendo o sistema:
obtemos .

Resposta

boxedy(t) = e^t - tfrac12,e^-2t ;-; t ;-; tfrac12

Exercícios relacionados