Determine o(s) valor(es) da constante k, se existir(em), para que a função
f(x)=c 2 k x, se x <= 1 x+k, se 1= 2
seja contínua em R.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar o valor ou valores da constante que fazem a função ser contínua em todos os números reais. A função é definida por partes, ou seja, ela tem regras diferentes dependendo do valor de . Para resolver isso, vamos usar o conceito de continuidade de funções e garantir que não haja “saltos” nas partes onde a função muda de definição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Basicamente, a função é contínua em limx to a^- f(x) = limx to a^+ f(x) = f(a) se o limite quando se aproxima de pela esquerda é igual ao limite quando se aproxima de pela direita, e ambos são iguais ao valor da função em :
No nosso caso, precisamos verificar a continuidade nos pontos onde a definição da função muda, ou seja, em e .

Passo 3

Vamos começar verificando a continuidade em f(1) = 2k cdot 1 = 2k .
Para limx to 1^+ f(x) = 1 + k , a função é f(1) = limx to 1^+ f(x) implies 2k = 1 + k . Então,
2k - k = 1 implies k = 1
Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de 1 pela direita ( ):
Para , . Então,
Para a função ser contínua em ,
Resolvendo essa equação:

Passo 4

Agora, vamos verificar a continuidade em f(2) = 2 + k .
Para limx to 2^+ f(x) = 2k cdot 2 = 1k , f(2) = limx to 2^+ f(x) implies 2 + k = 1k . Então,
k(2 + k) = 1 implies 2k + k^2 = 1 implies k^2 + 2k - 1 = 0
Para k = -2 pm raiz4 + 42 = -2 pm raiz82 = -2 pm 2raiz22 = -1 pm raiz2 , . Então, o limite quando se aproxima de 2 pela direita ( ) é:
Para a função ser contínua em ,
Multiplicando ambos os lados por (desde que ):
Resolvendo essa equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:

Resposta

Os valores de que tornam a função contínua em todos os reais são e .

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