( 1,5 pt ) Determine o ponto da reta y = 2 x + 6 mais próximos da origem.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o ponto na reta que está mais próximo da origem (0,0). Isso tá dentro da matéria de Geometria Analítica, e vamos precisar usar conceitos de distância entre pontos e projeção de pontos em retas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular a distância entre dois pontos no plano. A fórmula é:
No nosso caso, queremos a distância entre a origem e um ponto qualquer na reta .

Passo 3

Como o ponto está na reta , podemos substituir por na fórmula da distância:

Passo 4

Para encontrar o ponto mais próximo, precisamos minimizar essa distância. Em vez de minimizar , a gente pode minimizar , que é mais fácil e dá o mesmo resultado:

Passo 5

Vamos agora encontrar o valor de que minimiza . Para isso, derivamos em relação a e igualamos a zero:
Resolvendo para :

Passo 6

Agora que temos o valor de , substituímos de volta na equação da reta para encontrar :

Resposta

O ponto na reta mais próximo da origem é .

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