a) Determine os valores
e
, de modo que a equação diferencial
seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de
e
, de modo que a equação diferencial
seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são equações diferenciais e precisamos encontrar valores específicos para os parâmetros α, β e γ para que essas equações se tornem exatas. Depois disso, vamos encontrar a solução geral dessas equações. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e as condições que elas devem satisfazer. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ é exata se existir uma função $ \Psi(x,y) $ tal que:
Para que isso aconteça, é necessário que as derivadas parciais mistas sejam iguais, ou seja:
Vamos aplicar isso nas equações do exercício.
Passo 3
Parte a)
A equação diferencial dada é:
Parece que há alguns erros de digitação na expressão. Vou considerar que a equação correta seja:
Agora, identificamos:
Passo 4
Vamos aplicar a condição de exatidão:
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Passo 5
Igualamos as duas derivadas parciais:
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de $ x $ e $ y $, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema:
Observamos que no segundo membro temos um termo que depende de $ x $ e $ y $, enquanto no lado esquerdo só temos uma constante. Isso significa que a única solução possível é que $ \beta = 0 $ para eliminar o termo dependente de $ y $.
Passo 6
Resolvendo o sistema:
Então, os valores que tornam a equação exata são $ \beta = 0 $ e $ \gamma = 3 $.
Passo 7
Agora, vamos encontrar a solução geral da equação exata. Sabemos que existe uma função $ \Psi(x,y) $ tal que:
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
Onde $ h(y) $ é uma função arbitrária de $ y $.
Agora, derivamos $ \Psi $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x,y) $:
Então:
Simplificando:
Observamos que há um problema aqui, pois $ h’(y) $ não deveria depender de $ x $. Isso indica que houve um erro na nossa consideração inicial da equação. Vamos revisar.
Passo 8
Revisando, percebemos que na parte a) o termo $ \beta y^{23} $ na expressão de $ M(x,y) $ provavelmente deveria ser $ \beta y^{2} $. Vamos corrigir isso:
Recalculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
Igualando:
Novamente, para que essa igualdade seja válida para todos $ x $ e $ y $, os coeficientes devem ser iguais:
Novamente, a segunda equação sugere $ \beta = 0 $, já que não pode haver dependência de $ x $ e $ y $ em $ \beta $.
Então, $ \gamma = 3 $ e $ \beta = 0 $.
Passo 9
Agora, com $ \beta = 0 $ e $ \gamma = 3 $, a equação diferencial exata fica:
Vamos encontrar a solução geral $ \Psi(x,y) = C $.
Primeiro, integramos $ M(x,y) $ em relação a $ x $:
Derivando $ \Psi $ em relação a $ y $:
Igualando:
Simplificando:
Ainda temos um problema, indicando que nossa abordagem está faltando algo. Isso sugere que a equação pode não ser exata mesmo com $ \beta = 0 $ e $ \gamma = 3 $.
Passo 10
Reavaliando a situação, pode ser que a equação original tenha sido digitada incorretamente. Para proceder de forma consistente, vamos considerar que a parte a) do exercício possui inconsistências na expressão e focar apenas na parte b).
Passo 11
Parte b)
A equação diferencial dada é:
Aqui, temos uma equação envolvendo $ dz $ e $ dy $. Vamos reescrever na forma padrão:
Identificamos:
Passo 12
Para que a equação seja exata, devemos ter:
No entanto, observamos que $ M $ e $ N $ não dependem de $ z $, apenas de $ y $ e $ x $. Isso sugere que houve um equívoco na formulação do exercício. Talvez a equação devesse estar em termos de $ dx $ e $ dy $ ou $ dy $ e $ dz $ com dependências corretas.
Sem uma formulação clara, não é possível proceder com a resolução correta da parte b).
Resposta
Peço desculpas pelas inconsistências encontradas na resolução. Recomendo verificar o enunciado das equações para garantir que todos os termos estejam corretos, o que facilitará a aplicação das condições de exatidão e a determinação dos valores de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $.