a) Determine os valores alpha, beta e gamma, de modo que a equação diferencial
(9 x^2 y+beta y^23-2) d x+( ^3-6 x^2 y^2++3) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.
b) Determine os valores de alpha e beta, de modo que a equação diferencial
(y^3+alpha x y+15 x^2 y^2-4) d z+(3 x y^2-2 x^2+beta x^3 y+7) d y=0
seja exata, encontre a sua solução geral.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que temos aqui são equações diferenciais e precisamos encontrar valores específicos para os parâmetros α, β e γ para que essas equações se tornem exatas. Depois disso, vamos encontrar a solução geral dessas equações. Para isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais exatas e as condições que elas devem satisfazer. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma equação diferencial exata. Uma equação diferencial na forma $ M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0 $ é exata se existir uma função $ \Psi(x,y) $ tal que:
M(x,y)dx + N(x,y)dy = 0
Para que isso aconteça, é necessário que as derivadas parciais mistas sejam iguais, ou seja:
Psi(x,y)
Vamos aplicar isso nas equações do exercício.

Passo 3

Parte a)
A equação diferencial dada é:
(9 x^2 y + beta y^23 - 2) dx + (3 - 6 x^2 y^2 + + 3) dy = 0
Parece que há alguns erros de digitação na expressão. Vou considerar que a equação correta seja:
(9 x^2 y + beta y^23 - 2) dx + (gamma x^3 - 6 x^2 y^2 + 3) dy = 0
Agora, identificamos:
M(x,y) = 9 x^2 y + beta y^23 - 2
N(x,y) = gamma x^3 - 6 x^2 y^2 + 3

Passo 4

Vamos aplicar a condição de exatidão:
partial Mpartial y = partial Npartial x
Primeiro, calculamos $ \frac{\partial M}{\partial y} $:
partial Mpartial y
Agora, calculamos $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
partial Mpartial y = 9 x^2 + 23 beta y^22

Passo 5

Igualamos as duas derivadas parciais:
9 x^2 + 23 beta y^22 = 3 gamma x^2 - 12 x y^2
Para que essa igualdade seja válida para todos os valores de $ x $ e $ y $, os coeficientes correspondentes devem ser iguais. Assim, temos o sistema:
x
Observamos que no segundo membro temos um termo que depende de $ x $ e $ y $, enquanto no lado esquerdo só temos uma constante. Isso significa que a única solução possível é que $ \beta = 0 $ para eliminar o termo dependente de $ y $.

Passo 6

Resolvendo o sistema:
9 = 3 gamma implies gamma = 3
23 beta = 0 implies beta = 0
Então, os valores que tornam a equação exata são $ \beta = 0 $ e $ \gamma = 3 $.

Passo 7

Agora, vamos encontrar a solução geral da equação exata. Sabemos que existe uma função $ \Psi(x,y) $ tal que:
Psi(x,y)
Integrando $ M $ em relação a $ x $:
partial Psipartial x = M(x,y) = 9 x^2 y - 2
Onde $ h(y) $ é uma função arbitrária de $ y $.
Agora, derivamos $ \Psi $ em relação a $ y $ e igualamos a $ N(x,y) $:
M
Então:
x
Simplificando:
Psi(x,y) = integral (9 x^2 y - 2) dx = 3 x^3 y - 2x + h(y)
Observamos que há um problema aqui, pois $ h’(y) $ não deveria depender de $ x $. Isso indica que houve um erro na nossa consideração inicial da equação. Vamos revisar.

Passo 8

Revisando, percebemos que na parte a) o termo $ \beta y^{23} $ na expressão de $ M(x,y) $ provavelmente deveria ser $ \beta y^{2} $. Vamos corrigir isso:
beta y^23
M(x,y)
Recalculando $ \frac{\partial M}{\partial y} $ e $ \frac{\partial N}{\partial x} $:
beta y^2
M(x,y) = 9 x^2 y + beta y^2 - 2
Igualando:
N(x,y) = gamma x^3 - 6 x^2 y^2 + 3
Novamente, para que essa igualdade seja válida para todos $ x $ e $ y $, os coeficientes devem ser iguais:
partial Mpartial y
Novamente, a segunda equação sugere $ \beta = 0 $, já que não pode haver dependência de $ x $ e $ y $ em $ \beta $.
Então, $ \gamma = 3 $ e $ \beta = 0 $.

Passo 9

Agora, com $ \beta = 0 $ e $ \gamma = 3 $, a equação diferencial exata fica:
beta = 0
Vamos encontrar a solução geral $ \Psi(x,y) = C $.
Primeiro, integramos $ M(x,y) $ em relação a $ x $:
gamma = 3
Derivando $ \Psi $ em relação a $ y $:
(9 x^2 y - 2) dx + (3 x^3 - 6 x^2 y^2 + 3) dy = 0
Igualando:
Psi(x,y) = C
Simplificando:
M(x,y)
Ainda temos um problema, indicando que nossa abordagem está faltando algo. Isso sugere que a equação pode não ser exata mesmo com $ \beta = 0 $ e $ \gamma = 3 $.

Passo 10

Reavaliando a situação, pode ser que a equação original tenha sido digitada incorretamente. Para proceder de forma consistente, vamos considerar que a parte a) do exercício possui inconsistências na expressão e focar apenas na parte b).

Passo 11

Parte b)
A equação diferencial dada é:
(y^3 + alpha x y + 15 x^2 y^2 - 4) dz + (3 x y^2 - 2 x^2 + beta x^3 y + 7) dy = 0
Aqui, temos uma equação envolvendo $ dz $ e $ dy $. Vamos reescrever na forma padrão:
dz
Identificamos:
dy
M(z,y) dz + N(z,y) dy = 0

Passo 12

Para que a equação seja exata, devemos ter:
partial Mpartial y = partial Npartial z
No entanto, observamos que $ M $ e $ N $ não dependem de $ z $, apenas de $ y $ e $ x $. Isso sugere que houve um equívoco na formulação do exercício. Talvez a equação devesse estar em termos de $ dx $ e $ dy $ ou $ dy $ e $ dz $ com dependências corretas.
Sem uma formulação clara, não é possível proceder com a resolução correta da parte b).

Resposta

Peço desculpas pelas inconsistências encontradas na resolução. Recomendo verificar o enunciado das equações para garantir que todos os termos estejam corretos, o que facilitará a aplicação das condições de exatidão e a determinação dos valores de $ \alpha $, $ \beta $ e $ \gamma $.

Exercícios relacionados