Determine y(x) sabendo que:
\frac{d y}{d x}=x e^{x^{2}+1} e y(1)=e^{2}.

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial de primeira ordem com condição inicial
\frac{dy}{dx}=x\,e^{x^{2}+1}, \quad y(1)=e^{2}.
O objetivo é encontrar y(x) integrando a derivada e aplicando a condição inicial.

Passo 2

Integramos ambos os lados:
y(x)=\int x\,e^{x^{2}+1}\,dx + C.
Fazemos a substituição
u = x^{2}+1,\quad du = 2x\,dx\quad\Longrightarrow\quad x\,dx = \tfrac12\,du,
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\int x\,e^{x^{2}+1}\,dx = \tfrac12\int e^{u}\,du = \tfrac12\,e^{u} + C = \tfrac12\,e^{x^{2}+1} + C.
Portanto, a solução geral é
y(x)=\tfrac12\,e^{x^{2}+1} + C.

Passo 3

Aplicamos a condição inicial y(1)=e^{2}:
y(1)=\tfrac12\,e^{1^{2}+1} + C =\tfrac12\,e^{2} + C \stackrel!=e^{2} \quad\Longrightarrow\quad C = e^{2} - \tfrac12\,e^{2} = \tfrac12\,e^{2}.

Passo 4

Substituindo C em y(x), obtemos
y(x)=\tfrac12\,e^{x^{2}+1} + \tfrac12\,e^{2} =\tfrac12\bigl(e^{x^{2}+1}+e^{2}\bigr).

Resposta

y(x)=\tfrac12\bigl(e^{x^{2}+1}+e^{2}\bigr).

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