Determine y(x) sabendo que:
\frac{d y}{d x}=\frac{2 x+1}{\sqrt{x}} e y(1)=0;

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \frac{2x+1}{\sqrt{x}}
com a condição inicial y(1)=0.
O conteúdo aqui é integração de funções que são somas de potências de x. Para resolver, vamos reescrever o integrando como soma de termos da forma x^n, aplicar a regra
\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
e depois usar y(1)=0 para achar a constante de integração.

Passo 2

Reescrevemos o integrando separando termos:
\frac{2x+1}{\sqrt{x}} = 2\,\frac{x}{x^{1/2}} + \frac{1}{x^{1/2}} = 2\,x^{1/2} + x^{-1/2}.

Passo 3

Integramos termo a termo:
y(x)=\int\bigl(2\,x^{1/2} + x^{-1/2}\bigr)\,dx =2\int x^{1/2}\,dx + \int x^{-1/2}\,dx.
Pela fórmula \int x^n\,dx = x^{n+1}/(n+1), temos
2\int x^{1/2}\,dx =2\cdot\frac{x^{3/2}}{\tfrac{3}{2}} =\frac{4}{3}\,x^{3/2},
\int x^{-1/2}\,dx =\frac{x^{1/2}}{\tfrac{1}{2}} =2\,x^{1/2}.
Portanto a solução geral é
y(x)=\frac{4}{3}\,x^{3/2}+2\,x^{1/2}+C.

Passo 4

Usamos y(1)=0 para determinar C:
0 = y(1) = \frac{4}{3}\cdot1^{3/2} + 2\cdot1^{1/2} + C = \frac{4}{3} + 2 + C = \frac{4}{3} + \frac{6}{3} + C = \frac{10}{3} + C.
Assim
C = -\frac{10}{3}.

Resposta

y(x)=\frac{4}{3}\,x^{3/2} \;+\;2\,x^{1/2}\;-\;\frac{10}{3}.

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