(Integrais Impróprias)
\int_{-\infty}^{0} \frac{e^{x}}{3-2 e^{x}} d x;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\displaystyle \int_{-\infty}^{0}\frac{e^{x}}{3-2e^{x}}\,dx.
O conteúdo principal é tratar o limite em x\to -\infty e usar uma mudança de variável para transformar a integral em algo mais simples.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = e^{x},\quad dt = e^{x}dx\quad\Longrightarrow\quad e^{x}dx = dt.
Quando x\to -\infty, t\to 0; quando x\to 0, t\to 1.
Assim a integral vira
\int_{-\infty}^{0}\frac{e^{x}}{3-2e^{x}}\,dx =\int_{0}^{1}\frac{1}{3-2t}\,dt.

Passo 3

Para calcular
\displaystyle \int\frac{1}{3-2t}\,dt,
use u=3-2t, logo du=-2\,dt e dt=-\tfrac12du.
Substituindo:
\int\frac{1}{3-2t}\,dt =\int\frac{1}{u}\Bigl(-\tfrac12du\Bigr) =-\tfrac12\int\frac{1}{u}\,du =-\tfrac12\ln|u|+C =-\tfrac12\ln|3-2t|+C.

Passo 4

Agora avaliamos de t=0 até t=1:
\Bigl[-\tfrac12\ln(3-2t)\Bigr]_{0}^{1} =-\tfrac12\ln(3-2\cdot1)+\tfrac12\ln(3-2\cdot0) =-\tfrac12\ln(1)+\tfrac12\ln(3) =\tfrac12\ln(3).

Resposta

\displaystyle \tfrac12\ln(3)

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