Exercício 3.9: Um compressor comprime um gás na temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C} e, na pressão atmosférica, até a pressão de 7 atmosferas manométricas. Supondo \mathrm{k}=1,3, qual será a temperatura do gás ao final?
Dados: T_{1}=20+273=293 \mathrm{~K} ; p_{1}=1 \mathrm{~atm} ; p_{2}=(7+1) \mathrm{atm}=8 \mathrm{~atm} ; T_{2}=? ; \mathrm{n}=1,3

Passo 1

O enunciado descreve uma compressão adiabática de um gás ideal, partindo de \,T_{1}=293\\ \mathrm{K} e p_{1}=1\\ \mathrm{atm} até p_{2}=8\\ \mathrm{atm}, com razão de calores específicos \,k=1,3. Vamos usar a relação adiabática que conecta temperatura e pressão em um processo reversível sem troca de calor.

Passo 2

A relação adiabática para um gás ideal reversível e adiabático (isentrópico) é
\frac{T_{2}}{T_{1}} = \Bigl(\frac{p_{2}}{p_{1}}\Bigr)^{\frac{k-1}{k}}.
Essa fórmula vem de pV^{k}=\text{constante} combinado com a equação de estado pV=RT.

Passo 3

Substituindo os valores conhecidos:
\frac{T_{2}}{293} = \Bigl(\frac{8}{1}\Bigr)^{\frac{1{,}3-1}{1{,}3}} = 8^{\frac{0{,}3}{1{,}3}}.
Aqui o expoente é
\frac{k-1}{k} = \frac{1{,}3-1}{1{,}3} = \frac{0{,}3}{1{,}3}\approx0{,}23077.

Passo 4

Calculando 8^{0,23077}:
8^{0{,}23077} = e^{0{,}23077\ln8} \approx e^{0{,}23077\times2{,}0794} \approx e^{0{,}480} \approx1{,}616.
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T_{2} = 293 \times 1{,}616 \approx 473{,}5\\ \mathrm{K}.

Passo 5

Convertendo para graus Celsius, se desejado:
T_{2,\;^\circ\mathrm C} = T_{2} -273 \approx 473{,}5 -273 =200{,}5\,^\circ\mathrm C.

Resposta

A temperatura final do gás é
T_{2}\approx473{,}5\\ \mathrm{K}\quad(\approx200{,}5\,^\circ\mathrm C).

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