Determine a saída do sistema linear e invariante no tempo cuja resposta ao impulso é
h(t)=2 e^-t u(t)
para as seguintes entradas:
(a) x(t)=-3 e^-2 t u(t)

Passo 1

O enunciado pede a saída y(t) de um sistema LTI cuja resposta ao impulso é
h(t)=2e^-tu(t)
quando a entrada é
x(t)=-3e^-2tu(t)
O conteúdo aqui é a convolução y(t)=x(t)*h(t).

Passo 2

Escrevemos a integral de convolução
y(t)=integral-infty^inftyh(tau),x(t-tau),dtau
Como h(tau) e x(t-tau) só são não nulos para argumentos >=0, o intervalo se reduz a tauin[0,t] e t>=0.

Passo 3

Substituindo as expressões de h e x:
y(t)=integral0^t2e^-tau,l[-3e^-2,(t-tau)r],dtau =-6integral0^te^-taue^-2t+2tau,dtau
Agrupando os exponenciais:
y(t)=-6e^-2tintegral0^te^-tau+2tau,dtau =-6e^-2tintegral0^te^tau,dtau

Passo 4

Calculamos a integral
integral0^te^tau,dtau=[e^tau]0^t=e^t-1
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y(t)=-6e^-2tl(e^t-1r)=-6l(e^-t-e^-2tr)

Passo 5

Como todo o processo vale só para t>=0, incluímos o fator u(t):
y(t)=6l(e^-2t-e^-tr)u(t)

Resposta

y(t)=6l(e^-2t-e^-tr),u(t)

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