Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações em R^3.
Duas retas ou se interceptam ou são paralelas.

Passo 1

O enunciado pede para decidir se, em R^3, “duas retas ou se interceptam ou são paralelas” é sempre verdade. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: precisamos usar a representação paramétrica de retas, a definição de paralelismo (vetores diretores proporcionais) e a ideia de retas que não se encontram nem são paralelas (retas reversas ou skew).

Passo 2

Definimos duas retas em forma paramétrica:
ell1: r = p1 + t,v1, ell2: r = p2 + s,v2
Elas são paralelas se v1 e v2 são proporcionais (isto é, v1 = lambda,v2 para algum lambdaneq0). Interceptam-se se existem t,s tais que p1 + t,v1 = p2 + s,v2.

Passo 3

Para refutar a afirmação, basta um contraexemplo de retas que não sejam paralelas nem se encontrem. Considere
ell1: (x,y,z) = (0,0,0) + t,(1,0,0) e ell2: (x,y,z) = (0,0,1) + s,(0,1,0)
Aqui v1=(1,0,0) e v2=(0,1,0) não são proporcionais, logo não são paralelas. Para haver interseção precisaríamos resolver
(0,0,0) + t,(1,0,0) = (0,0,1) + s,(0,1,0),
isto é,
(t,0,0) = (0,s,1)
Não existe par (t,s) que satisfaça todas as três coordenadas simultaneamente (por exemplo, a terceira exige 0=1, impossível). Portanto essas retas são reversas (skew): nem paralelas nem concorrentes.

Passo 4

Como encontramos retas em R^3 que são não paralelas e não se interceptam, a afirmação “duas retas ou se interceptam ou são paralelas” não vale em geral.

Resposta

Falsa.

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