Determine se são verdadeiras ou falsas as seguintes afirmações em
.
Duas retas ou se interceptam ou são paralelas.
Duas retas ou se interceptam ou são paralelas.
Passo 1
O enunciado pede para decidir se, em
, “duas retas ou se interceptam ou são paralelas” é sempre verdade. O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço: precisamos usar a representação paramétrica de retas, a definição de paralelismo (vetores diretores proporcionais) e a ideia de retas que não se encontram nem são paralelas (retas reversas ou skew).
Passo 2
Definimos duas retas em forma paramétrica:
Elas são paralelas se
e
são proporcionais (isto é,
para algum
). Interceptam-se se existem
tais que
.
Passo 3
Para refutar a afirmação, basta um contraexemplo de retas que não sejam paralelas nem se encontrem. Considere
Aqui
e
não são proporcionais, logo não são paralelas. Para haver interseção precisaríamos resolver
isto é,
Não existe par
que satisfaça todas as três coordenadas simultaneamente (por exemplo, a terceira exige
, impossível). Portanto essas retas são reversas (skew): nem paralelas nem concorrentes.
Passo 4
Como encontramos retas em
que são não paralelas e não se interceptam, a afirmação “duas retas ou se interceptam ou são paralelas” não vale em geral.
Resposta
Falsa.