(2 pts) Dados os vetores u=(2,1,1) e v=(3,2,-1),
(a) determine um vetor de módulo 5 simultâneamente ortogonal a u e v;
(b) calcule a área do paralelogramo determinado por u e v;
(c) calcule o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores u times v, u e v.

Passo 1

O enunciado dá os vetores vec u=(2,1,1) e vec v=(3,2,-1) e pede:
a) um vetor de módulo 5 ortogonal a vec u e vec v;
b) a área do paralelogramo determinado por vec u e vec v;
c) o volume do paralelepípedo determinado pelos vetores vec utimesvec v,;vec u e vec v.
O conteúdo principal aqui é produto vetorial para achar vetores ortogonais e área, e produto escalar triplo para achar volume.

Passo 2

Vamos calcular o produto vetorial vec utimesvec v. Usando a definição por determinante:
vec utimesvec v = i & j & k 2 & 1 & 1 3 & 2 & -1 =(1cdot(-1)-1cdot2), i -(2cdot(-1)-1cdot3), j +(2cdot2-1cdot3), k
vec utimesvec v=(-3,,5,,1)

Passo 3

O módulo de vec utimesvec v é
l|vec utimesvec vr|=raiz(-3)^2+5^2+1^2=raiz9+25+1=raiz35
Para obter um vetor de módulo 5 na mesma direção, multiplicamos por 5/raiz35. Assim,
vec w=5raiz35,(-3,5,1)
é ortogonal a vec u e vec v e tem |vec w|=5.

Passo 4

A área do paralelogramo gerado por vec u e vec v é exatamente o módulo do produto vetorial:
A=l|vec utimesvec vr|=raiz35

Passo 5

O volume do paralelepípedo formado por vec utimesvec v, vec u e vec v é o valor absoluto do produto escalar triplo:
V=l|(vec utimesvec v)cdot(vec utimesvec v)r| =|vec utimesvec v|^2=35

Resposta

(a) 5raiz35,(-3,5,1)
(b) raiz35
(c) 35

Exercícios relacionados