Determine se a sĂŠrie ĂŠ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente. .
Passo 1
Então, a questão pede pra gente analisar a série
O conteúdo aqui é “testes de convergência de séries” – em particular a gente vai usar:
Definição de convergência absoluta (se a soma dos módulos converge, a série é absolutamente convergente).
Teste da comparação (ou limite de comparação) com uma p-série.
Passo 2
Vamos checar a convergência absoluta. Para isso, consideramos a série dos módulos:
Agora, como arctg ntopi2 quando ntoinfty, a gente compara com a p-série sum 1/n^2, que sabe-se que converge (porque p=2>1).
Aplicando o teste do limite de comparação:
L =limntoinfty dfracarctg nn^2dfrac1n^2 =limntoinftyarctg n =pi2,
que é um número finito e não-nulo.
Logo, pelas regras do teste, como sum1/n^2 converge, então
sumn=1^inftyarctg nn^2
também converge. Isto prova a convergência absoluta da série original.
Passo 3
Quando uma série é absolutamente convergente, ela também é convergente (independente de alternância de sinais). Ou seja, não precisamos nem aplicar o teste de Leibniz para alternância: a convergência absoluta já garante que a série bate convergência.
Resposta
A série sumn=1^infty(-1)^n,arctg nn^2 é absolutamente convergente.