Determine se a sĂŠrie ĂŠ absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
sumn=2^infty(-2 nn+1)^5 n.

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente analisar a série
sumn=2^inftyl(-2nn+1r)^5n
e dizer se ela é absolutamente convergente, condicionalmente convergente ou divergente.
O conteúdo aqui é Séries Numéricas – em especial, o Teste da Raiz (ou de Cauchy) e o conceito de convergência absoluta vs. condicional.
Para resolver, vamos precisar:
  1. lembrar o que é convergência absoluta;
  2. usar o Teste da Raiz: calcular limntoinftyraiz[n]|an|;
  3. checar também se o termo geral tende a zero (condição básica para qualquer série convergir).

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o conceito de convergência absoluta. A série sum an é absolutamente convergente se sum|an| convergir.
Aqui
an=l(tfrac-2n,n+1r)^5n Longrightarrow |an|=l|tfrac-2n,n+1r|^5n =l(tfrac2n,n+1r)^5n
Para testar sum|an|, o Teste da Raiz diz: seja
L=limntoinftyraiz[n]|an|
  • Se L<1, a série converge absolutamente.
  • Se L>1, a série diverge.
  • Se L=1, o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos calcular
raiz[n]|an| =raiz[n]l(tfrac2nn+1r)^5n =l(tfrac2nn+1r)^5
Agora fazemos o limite quando ntoinfty:
limntoinftyl(tfrac2nn+1r)^5 =l(limntoinftytfrac2nn+1r)^5 =l(2r)^5 =32
Como L=32>1, pelo Teste da Raiz sum|an| diverge, ou seja, a série não é absolutamente convergente.

Passo 4

Pra ver se ela é condicionalmente convergente, duas observações rápidas:
  1. Um requisito básico pra série sum an convergir (seja absoluta ou condicional) é que anto0.
  2. Aqui
an=l(tfrac-2nn+1r)^5n
é um número cujo módulo cresce como approx 32^n. Logo an não tende a zero, ele explode em módulo.
Isso basta pra concluir que a série diverge de vez – não há condição de convergência condicional.

Resposta

A série diverge.

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