Determine ( x, y ) satisfazendo x^2+4 y^2 <= 1 que maximiza a soma 2 x+y. 15 . Suponha que T(x, y) =4-x^2-y^2 represente uma distribuição de temperatura no plano. Seja
A=(x, y) in R^2 ; x >= 0, y >= 0 e 2 y+x <= 4. Determine o ponto de A de menor temperatura.

Passo 1

O primeiro problema pede encontrar (x,y) no elipse
x^2+4y^2<=1
que maximiza a função linear
f(x,y)=2x+y
Como o máximo de uma função linear num domínio convexo ocorre na fronteira, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange com a restrição
g(x,y)=x^2+4y^2-1=0

Passo 2

As condições de Lagrange são
nabla f(x,y)=lambda,nabla g(x,y),
isto é,
(2,1)=lambda,(2x,8y),
e junto com a restrição obtemos o sistema
2=2lambda x, 1=8lambda y, x^2+4y^2=1

Passo 3

Das duas primeiras igualdades vem
x=1lambda, y=18lambda
Substituindo na restrição,
1lambda^2+4cdot164lambda^2 =1lambda^2l(1+116r) =1716lambda^2=1 Rightarrow lambda^2=1716,
logo lambda=pmraiz174.

Passo 4

Para lambda=raiz174 obtemos
x=4raiz17, y=12raiz17,
e
fl(tfrac4raiz17,tfrac12raiz17r) =2cdottfrac4raiz17+tfrac12raiz17 =raiz172
Para lambda=-raiz174 o valor de f é -tfracraiz172. Portanto o máximo é
l(tfrac4raiz17,,tfrac12raiz17r)

Passo 5

No segundo problema queremos minimizar
T(x,y)=4-x^2-y^2
sobre
A=(x,y)mid x>=0,;y>=0,;x+2y<=4
Como minimizar T equivale a maximizar x^2+y^2, basta achar o ponto mais distante da origem em A, que estará na fronteira.

Passo 6

Os vértices de A são (0,0), (4,0) e (0,2). Há ainda um possível candidato no segmento x+2y=4. Parametrizando por
(x,y)=(4-2t,;t), tin[0,2],
temos
x^2+y^2=(4-2t)^2+t^2=16-16t+5t^2
Derivando em relação a t:
ddt(16-16t+5t^2)=-16+10t=0 Rightarrow t=tfrac85,
que dá (x,y)=(tfrac45,tfrac85) e
x^2+y^2=16-16cdottfrac85+5cdottfrac6425=3,2

Passo 7

Comparando x^2+y^2 nos vértices e no ponto crítico:
(0,0)mapsto0, (4,0)mapsto16, (0,2)mapsto4, (tfrac45,tfrac85)mapsto3,2
O maior valor é 16 em (4,0), logo T é mínimo em (4,0).

Resposta

O ponto que maximiza 2x+y sob x^2+4y^2<=1 é
l(tfrac4raiz17,,tfrac12raiz17r).
O ponto de A onde a temperatura T é mínima é
(4,0).

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