Determine (
) satisfazendo
que maximiza a soma
. 15 . Suponha que
represente uma distribuição de temperatura no plano. Seja
e
. Determine o ponto de
de menor temperatura.
Passo 1
O primeiro problema pede encontrar
no elipse
que maximiza a função linear
Como o máximo de uma função linear num domínio convexo ocorre na fronteira, usamos o método dos multiplicadores de Lagrange com a restrição
Passo 2
As condições de Lagrange são
isto é,
e junto com a restrição obtemos o sistema
Passo 3
Das duas primeiras igualdades vem
Substituindo na restrição,
logo
.
Passo 4
Para
obtemos
e
Para
o valor de
é
. Portanto o máximo é
Passo 5
No segundo problema queremos minimizar
sobre
Como minimizar
equivale a maximizar
, basta achar o ponto mais distante da origem em
, que estará na fronteira.
Passo 6
Os vértices de
são
,
e
. Há ainda um possível candidato no segmento
. Parametrizando por
temos
Derivando em relação a
:
que dá
e
Passo 7
Comparando
nos vértices e no ponto crítico:
O maior valor é
em
, logo
é mínimo em
.
Resposta
O ponto que maximiza
sob
é
.
O ponto de onde a temperatura
é mínima é
.
O ponto de