Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x
\int \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
- A função a integrar é
. - É uma integral indefinida, logo o resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) acrescida da constante arbitrária
.
Passo 2
Entendendo a ideia (num passo bem didático): uma primitiva
de uma função
é uma função cuja derivada é
. Aqui queremos encontrar
tal que
Um jeito padrão para integrais com uma função composta como
é usar a substituição (método de mudança de variável). A substituição mais natural é definir a parte interna da função como uma nova variável:
Agora vamos relacionar
com
.
Passo 3
Calcule
a partir de
. Diferenciando ambos os lados em relação a
obtemos
Isolando
em função de
dá
Isso é importante porque na integral original
precisa ser substituído por
.
Passo 4
Substituímos
e
na integral. Usando
e
temos
Fatorando a constante
para fora da integral:
Passo 5
Agora integramos
. Sabendo que a derivada de
é
, uma primitiva de
é
. Logo
onde
é a constante de integração. Voltando à variável original
através de
, obtemos
Passo 6
Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivar o resultado deve retornar o integrando. Calculando a derivada de
:
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Dica geral útil para a prova: para integrais da forma
a primitiva é
. Aqui
, então
, o que coincide com o que encontramos.