Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \cos \left(\frac{x}{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \cos\!\left(\dfrac{x}{2}\right).
  • É uma integral indefinida, logo o resultado deve ser uma primitiva (antiderivada) acrescida da constante arbitrária C.

Passo 2

Entendendo a ideia (num passo bem didático): uma primitiva F(x) de uma função f(x) é uma função cuja derivada é f(x). Aqui queremos encontrar F tal que
F'(x)=\cos\!\left(\frac{x}{2}\right).
Um jeito padrão para integrais com uma função composta como \cos\!\left(\frac{x}{2}\right) é usar a substituição (método de mudança de variável). A substituição mais natural é definir a parte interna da função como uma nova variável:
u=\frac{x}{2}.
Agora vamos relacionar du com dx.

Passo 3

Calcule du a partir de u=\dfrac{x}{2}. Diferenciando ambos os lados em relação a x obtemos
du=\frac{1}{2}\,dx.
Isolando dx em função de du
dx=2\,du.
Isso é importante porque na integral original dx precisa ser substituído por 2\,du.

Passo 4

Substituímos u e dx na integral. Usando u=\dfrac{x}{2} e dx=2\,du temos
\int \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = \int \cos(u)\cdot 2\,du.
Fatorando a constante 2 para fora da integral:
\int \cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\,dx = 2\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos \cos(u). Sabendo que a derivada de \sin(u) é \cos(u), uma primitiva de \cos(u) é \sin(u). Logo
2\int \cos(u)\,du = 2\sin(u)+C,
onde C é a constante de integração. Voltando à variável original x através de u=\dfrac{x}{2}, obtemos
2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)+C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre bom fazer na prova): derivar o resultado deve retornar o integrando. Calculando a derivada de 2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right):
\frac{d}{dx}\left[2\sin\!\left(\frac{x}{2}\right)\right] = 2\cos\!\left(\frac{x}{2}\right)\cdot\frac{1}{2} = \cos\!\left(\frac{x}{2}\right),
que é exatamente o integrando. Portanto a primitiva está correta.
Dica geral útil para a prova: para integrais da forma \int \cos(kx)\,dx a primitiva é \dfrac{1}{k}\sin(kx)+C. Aqui k=\dfrac{1}{2}, então \dfrac{1}{k}=2, o que coincide com o que encontramos.

Resposta

2\sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)+C

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