Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \frac{d x}{4-3 x}
\int \frac{d x}{4-3 x}
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações dadas e o que se espera como resultado:
- A função a integrar é a razão
. - É uma integral indefinida; portanto a resposta precisa conter a constante de integração
. - Não há restrições adicionais no enunciado.
Passo 2
Estratégia escolhida: usar uma substituição simples para transformar o denominador em uma variável nova
. A ideia é a técnica de substituição (trocar
por
) porque a derivada de
é uma constante, o que deixa a integral na forma básica
, cujo antiderivado é
. Não vou pular etapas: vou mostrar exatamente por que isso funciona e como aplicar.
Passo 3
Faço a substituição
Agora calculo a diferencial
. Derivando ambos os lados em relação a
,
Isolando
obtemos
Passo 4
Substituo
e
na integral original. Temos
Colocando o fator constante para fora da integral:
Passo 5
Recordando a primitiva básica: a antiderivada de
é
. Isto vem do fato de que, por definição da derivada,
para
. Assim,
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Volto à variável original substituindo
:
Essa é a forma direta e simples da primitiva.
Passo 7
Verificação rápida (pra te dar segurança): derivando a resposta obtida deve voltar o integrando. Calculo
que é exatamente o integrando. Portanto está correto.