Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \frac{d x}{4-3 x}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int \frac{dx}{4-3x}.
Informações dadas e o que se espera como resultado:
  • A função a integrar é a razão \dfrac{1}{4-3x}.
  • É uma integral indefinida; portanto a resposta precisa conter a constante de integração C.
  • Não há restrições adicionais no enunciado.

Passo 2

Estratégia escolhida: usar uma substituição simples para transformar o denominador em uma variável nova u. A ideia é a técnica de substituição (trocar 4-3x por u) porque a derivada de 4-3x é uma constante, o que deixa a integral na forma básica \int \dfrac{du}{u}, cujo antiderivado é \ln|u|. Não vou pular etapas: vou mostrar exatamente por que isso funciona e como aplicar.

Passo 3

Faço a substituição
u = 4-3x.
Agora calculo a diferencial du. Derivando ambos os lados em relação a x,
du = -3\,dx.
Isolando dx obtemos
dx = -\frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Substituo u e dx na integral original. Temos
\int \frac{dx}{4-3x} = \int \frac{1}{u}\left(-\frac{1}{3}\,du\right).
Colocando o fator constante para fora da integral:
\int \frac{dx}{4-3x} = -\frac{1}{3}\int \frac{du}{u}.

Passo 5

Recordando a primitiva básica: a antiderivada de \dfrac{1}{u} é \ln|u|. Isto vem do fato de que, por definição da derivada, \dfrac{d}{du}\ln|u|=\dfrac{1}{u} para u\neq0. Assim,
-\frac{1}{3}\int \frac{du}{u} = -\frac{1}{3}\ln|u| + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Volto à variável original substituindo u=4-3x:
-\frac{1}{3}\ln|u| + C = -\frac{1}{3}\ln|4-3x| + C.
Essa é a forma direta e simples da primitiva.

Passo 7

Verificação rápida (pra te dar segurança): derivando a resposta obtida deve voltar o integrando. Calculo
\frac{d}{dx}\!\left(-\frac{1}{3}\ln|4-3x|\right) = -\frac{1}{3}\cdot\frac{1}{4-3x}\cdot(-3) = \frac{1}{4-3x},
que é exatamente o integrando. Portanto está correto.

Resposta

-\dfrac{1}{3}\ln|4-3x|+C

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