Calcule \oint \frac{-y}{x^{2}+y^{2}} d x+\frac{x}{x^{2}+y^{2}} d y, em que \gamma(t)=( cost, sent ), 0 \leq t \leq 2 \pi.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha
\oint_{\gamma} \frac{-y}{x^{2}+y^{2}}\,dx + \frac{x}{x^{2}+y^{2}}\,dy
onde a curva \gamma é dada por
\gamma(t)=(\cos t,\sin t),\qquad 0\le t\le 2\pi.
Informações fornecidas e o que se pede:
  • A curva é o círculo unitário centrado na origem, parametrizado por \gamma(t)=(\cos t,\sin t) para t de 0 a 2\pi.
  • A integral é uma integral de linha (ou integral de uma 1-forma) do tipo \oint P\,dx+Q\,dy com P(x,y)=\frac{-y}{x^{2}+y^{2}},\qquad Q(x,y)=\frac{x}{x^{2}+y^{2}}.
  • Deve-se calcular o valor dessa integral seguindo a orientação dada pela parametrização (que é no sentido anti-horário).

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): se \gamma(t)=(x(t),y(t)) é uma parametrização suave da curva para t\in[a,b], então a integral de linha
\oint_{\gamma} P\,dx+Q\,dy
pode ser calculada como uma integral em t:
\oint_{\gamma} P\,dx+Q\,dy=\int_{a}^{b}\bigl(P(x(t),y(t))\,x'(t)+Q(x(t),y(t))\,y'(t)\bigr)\,dt.
Explicando cada símbolo:
  • x(t),y(t) são as componentes da parametrização \gamma.
  • x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}.
  • P(x(t),y(t)) e Q(x(t),y(t)) são as funções P e Q avaliadas ao longo da curva.
    Essa fórmula transforma a integral de linha em uma integral usual em uma variável.

Passo 3

Aplicando a parametrização dada: \gamma(t)=(\cos t,\sin t).
Calculemos as derivadas:
x(t)=\cos t,\qquad y(t)=\sin t,
x'(t)=-\sin t,\qquad y'(t)=\cos t.
Além disso, ao longo da curva unitária temos
x(t)^{2}+y(t)^{2}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.
Vou usar essas expressões para avaliar P e Q na curva.

Passo 4

Avaliar P e Q na parametrização e formar o integrando:
P(x(t),y(t))=\frac{-y(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}=\frac{-\sin t}{1}=-\sin t,
Q(x(t),y(t))=\frac{x(t)}{x(t)^{2}+y(t)^{2}}=\frac{\cos t}{1}=\cos t.
Agora calcular o integrando P(x(t),y(t))x'(t)+Q(x(t),y(t))y'(t):
P\,x' + Q\,y' = (-\sin t)\cdot(-\sin t) + (\cos t)\cdot(\cos t).
Simplificando cada termo:
(-\sin t)(-\sin t)=\sin^{2}t,\qquad (\cos t)(\cos t)=\cos^{2}t,
então
P\,x' + Q\,y' = \sin^{2}t+\cos^{2}t = 1.
Observação didática: apareceu a identidade trigonométrica \sin^{2}t+\cos^{2}t=1, muito útil para simplificar.

Passo 5

Transformando a integral de linha na integral em t e integrando:
\oint_{\gamma} P\,dx+Q\,dy = \int_{0}^{2\pi} \bigl(P\,x' + Q\,y'\bigr)\,dt = \int_{0}^{2\pi} 1\,dt.
Essa é uma integral trivial:
\int_{0}^{2\pi} 1\,dt = \bigl[t\bigr]_{0}^{2\pi} = 2\pi.

Passo 6

Interpretação e observações extras (rápido):
  • O resultado é \,2\pi. Geometricamente, a 1-forma dada corresponde à forma angular \,d\theta em coordenadas polares (exceto na origem), e a integral ao longo do círculo unitário mede o ganho total do ângulo ao percorrer a volta: 2\pi.
  • Nota importante: não se aplica diretamente o Teorema de Green sobre toda a região interior se a forma tem singularidade no interior (aqui há singularidade na origem), por isso a parametrização direta é a abordagem segura.

Resposta

2\pi

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