Calcule
, em que
cost, sent
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
onde a curva
é dada por
Informações fornecidas e o que se pede:
- A curva é o círculo unitário centrado na origem, parametrizado por
para de a . - A integral é uma integral de linha (ou integral de uma 1-forma) do tipo
com - Deve-se calcular o valor dessa integral seguindo a orientação dada pela parametrização (que é no sentido anti-horário).
Passo 2
Conceito e fórmula que vamos usar (aula rápida): se
é uma parametrização suave da curva para
, então a integral de linha
pode ser calculada como uma integral em
:
Explicando cada símbolo:
-
são as componentes da parametrização . -
e . -
e são as funções e avaliadas ao longo da curva.
Essa fórmula transforma a integral de linha em uma integral usual em uma variável.
Passo 3
Aplicando a parametrização dada:
.
Calculemos as derivadas:
Calculemos as derivadas:
Além disso, ao longo da curva unitária temos
Vou usar essas expressões para avaliar
e
na curva.
Passo 4
Avaliar
e
na parametrização e formar o integrando:
Agora calcular o integrando
:
Simplificando cada termo:
então
Observação didática: apareceu a identidade trigonométrica
, muito útil para simplificar.
Passo 5
Transformando a integral de linha na integral em
e integrando:
Essa é uma integral trivial:
Passo 6
Interpretação e observações extras (rápido):
- O resultado é
. Geometricamente, a 1-forma dada corresponde à forma angular em coordenadas polares (exceto na origem), e a integral ao longo do círculo unitário mede o ganho total do ângulo ao percorrer a volta: . - Nota importante: não se aplica diretamente o Teorema de Green sobre toda a região interior se a forma tem singularidade no interior (aqui há singularidade na origem), por isso a parametrização direta é a abordagem segura.