Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \frac{3(x-4)}{x^{2}-8 x+3} d x
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a integral indefinida
\int \frac{3(x-4)}{x^{2}-8x+3}\,dx
e pede que calculemos essa integral. Informação relevante: o numerador é 3(x-4) e o denominador é o polinômio quadrático x^{2}-8x+3. A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função racional.
Passo 2
Observar estruturamente a expressão para escolher um método. Uma técnica muito útil é verificar se o numerador é proporcional à derivada do denominador, porque nesse caso podemos usar a substituição u= denominador ou a regra direta da forma \displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C.
Calcule a derivada do denominador x^{2}-8x+3:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}-8x+3\big)=2x-8=2(x-4).
Note que o numerador 3(x-4) é exatamente \dfrac{3}{2} vezes essa derivada, pois
Essa observação indica que a integral é do tipo \displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx multiplicada por uma constante, e portanto a substituição direta vai resolver rapidamente.
Passo 3
Fazer a substituição explícita para ficar claro (método sistemático). Defina
u=x^{2}-8x+3.
Então
du=(2x-8)\,dx=2(x-4)\,dx.
Isolando (x-4)\,dx obtemos
(x-4)\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Substitua no integrando usando também o fator constante 3:
Voltar à variável original substituindo u=x^{2}-8x+3. Assim a primitiva encontrada é
\frac{3}{2}\ln\big|x^{2}-8x+3\big|+C,
onde C é a constante de integração. Uma observação didática: o valor absoluto é necessário porque o logaritmo natural \ln só aceita argumentos positivos; como x^{2}-8x+3 pode ser negativo para certos x, escrevemos \ln|\,\cdot\,|.
Passo 6
Verificação rápida por diferenciação (checar sempre na prova se tiver tempo): calcule a derivada de \dfrac{3}{2}\ln|x^{2}-8x+3|: