Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \frac{3(x-4)}{x^{2}-8 x+3} d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede. O enunciado fornece a integral indefinida
\int \frac{3(x-4)}{x^{2}-8x+3}\,dx
e pede que calculemos essa integral. Informação relevante: o numerador é 3(x-4) e o denominador é o polinômio quadrático x^{2}-8x+3. A tarefa é encontrar uma primitiva (uma antiderivada) dessa função racional.

Passo 2

Observar estruturamente a expressão para escolher um método. Uma técnica muito útil é verificar se o numerador é proporcional à derivada do denominador, porque nesse caso podemos usar a substituição u= denominador ou a regra direta da forma \displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C.
Calcule a derivada do denominador x^{2}-8x+3:
\frac{d}{dx}\big(x^{2}-8x+3\big)=2x-8=2(x-4).
Note que o numerador 3(x-4) é exatamente \dfrac{3}{2} vezes essa derivada, pois
3(x-4)=\frac{3}{2}\cdot 2(x-4)=\frac{3}{2}\big(2x-8\big).
Essa observação indica que a integral é do tipo \displaystyle\int \frac{f'(x)}{f(x)}\,dx multiplicada por uma constante, e portanto a substituição direta vai resolver rapidamente.

Passo 3

Fazer a substituição explícita para ficar claro (método sistemático). Defina
u=x^{2}-8x+3.
Então
du=(2x-8)\,dx=2(x-4)\,dx.
Isolando (x-4)\,dx obtemos
(x-4)\,dx=\frac{1}{2}\,du.
Substitua no integrando usando também o fator constante 3:
\int \frac{3(x-4)}{x^{2}-8x+3}\,dx =3\int \frac{(x-4)\,dx}{u} =3\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du.

Passo 4

Simplificar a constante fora da integral:
3\int \frac{1}{u}\cdot\frac{1}{2}\,du=\frac{3}{2}\int \frac{1}{u}\,du.
Agora usar a fórmula básica de integração:
a primitiva de \dfrac{1}{u} é \ln|u| (mais constante). Ou seja,
\int \frac{1}{u}\,du=\ln|u|+C.
Portanto
\frac{3}{2}\int \frac{1}{u}\,du=\frac{3}{2}\ln|u|+C.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=x^{2}-8x+3. Assim a primitiva encontrada é
\frac{3}{2}\ln\big|x^{2}-8x+3\big|+C,
onde C é a constante de integração. Uma observação didática: o valor absoluto é necessário porque o logaritmo natural \ln só aceita argumentos positivos; como x^{2}-8x+3 pode ser negativo para certos x, escrevemos \ln|\,\cdot\,|.

Passo 6

Verificação rápida por diferenciação (checar sempre na prova se tiver tempo): calcule a derivada de \dfrac{3}{2}\ln|x^{2}-8x+3|:
\frac{d}{dx}\left(\frac{3}{2}\ln\big|x^{2}-8x+3\big|\right)=\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{x^{2}-8x+3}\cdot(2x-8) =\frac{3( x-4)}{x^{2}-8x+3},
que coincide com o integrando. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\dfrac{3}{2}\ln\big|x^{2}-8x+3\big|+C

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