Determine as segeintes integrais indefindas.
\int e^{3 x+1} d x
\int e^{3 x+1} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Dados importantes que temos:
- A função a integrar é a exponencial com um polinômio linear no expoente:
. - Queremos uma primitiva — ou seja, uma função
tal que .
Nada mais é dado; vamos resolver usando uma técnica padrão para exponenciais compostas.
Passo 2
Ideia útil (explicação didática): quando a integral tem a forma
e essa função tem derivada simples (aqui a derivada de
é
), é natural fazer uma substituição para transformar a integral numa forma básica
. A substituição é:
Agora vamos relacionar
com
.
Passo 3
Calcular
:
Substituindo na integral original:
Como
é constante, podemos colocá-la fora da integral:
Passo 4
Agora integramos a forma básica. Lembrando que a derivada de
é
, a primitiva de
é ela mesma:
Logo, com o fator que estava fora:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Voltar à variável original substituindo
. Assim a primitiva em termos de
fica dada por substituir
por
.
Passo 6
Observação alternativa (mesma resposta por outro caminho): como
, pode-se escrever
fazer a substituição
(ou usar o mesmo raciocínio da cadeia) e obter o mesmo resultado. Isso serve como checagem rápida.