Determine as segeintes integrais indefindas.
\int e^{3 x+1} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{3x+1}\,dx.
Dados importantes que temos:
  • A função a integrar é a exponencial com um polinômio linear no expoente: 3x+1.
  • Queremos uma primitiva — ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=e^{3x+1}.
    Nada mais é dado; vamos resolver usando uma técnica padrão para exponenciais compostas.

Passo 2

Ideia útil (explicação didática): quando a integral tem a forma e^{\text{(uma função)}}çã e essa função tem derivada simples (aqui a derivada de 3x+1 é 3), é natural fazer uma substituição para transformar a integral numa forma básica \int e^{u}\,du. A substituição é:
u = 3x+1.
Agora vamos relacionar du com dx.

Passo 3

Calcular du:
u = 3x+1 \quad\Rightarrow\quad du = 3\,dx \quad\Rightarrow\quad dx = \frac{1}{3}\,du.
Substituindo na integral original:
\int e^{3x+1}\,dx = \int e^{u}\cdot\frac{1}{3}\,du.
Como \frac{1}{3} é constante, podemos colocá-la fora da integral:
\int e^{3x+1}\,dx = \frac{1}{3}\int e^{u}\,du.

Passo 4

Agora integramos a forma básica. Lembrando que a derivada de e^{u} é e^{u}, a primitiva de e^{u} é ela mesma:
\int e^{u}\,du = e^{u} + C.
Logo, com o fator que estava fora:
\int e^{3x+1}\,dx = \frac{1}{3}\,e^{u} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Voltar à variável original substituindo u=3x+1. Assim a primitiva em termos de x fica dada por substituir u por 3x+1.

Passo 6

Observação alternativa (mesma resposta por outro caminho): como e^{3x+1}=e^{1}\,e^{3x}=e\cdot e^{3x}, pode-se escrever
\int e^{3x+1}\,dx = e\int e^{3x}\,dx,
fazer a substituição v=3x (ou usar o mesmo raciocínio da cadeia) e obter o mesmo resultado. Isso serve como checagem rápida.

Resposta

\dfrac{1}{3}e^{3x+1}+C

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