Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \sqrt[2]{x^{3}} d x
\int \sqrt[2]{x^{3}} d x
Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações fornecidas e objetivo:
- A função a integrar é
. - Pede-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, encontrar uma função
tal que . - Observação importante: a raiz quadrada real principal impõe normalmente
. Trabalharei assumindo .
Passo 2
Converter a notação de raiz para potência para facilitar o uso da regra de potências.
Regra: . Para raiz quadrada (
):
Regra:
Portanto a integral fica
Passo 3
Apresentar e entender a regra de integração por potência (a “fórmula” que vamos usar).
Fórmula: para ,
Fórmula: para
Explicação didática: isso vem da regra da derivada ao contrário. Sabemos que
. Para obter uma primitiva de
basta dividir por
, ou seja escolher
. O
é a constante de integração porque derivada de uma constante é zero.
Passo 4
Aplicar a fórmula ao caso concreto. Aqui
. Calcular
:
Agora aplicar a regra:
Passo 5
Simplificar a fração
. Lembre-se que
, então
. Assim
Passo 6
Dar uma forma alternativa usando radicais (útil para interpretar no caderno): como
, obtém-se também
Passo 7
Verificação rápida (cheque que sempre funciona na prova): derivar o resultado para confirmar.
portanto está correto. Dica final: sempre converta raízes em potências e aplique a regra de potência; cuidado apenas quando o expoente
(caso em que a primitiva é
).