Determine as segeintes integrais indefindas.
\int \sqrt[2]{x^{3}} d x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \sqrt[2]{x^{3}}\,dx.
Informações fornecidas e objetivo:
  • A função a integrar é \sqrt[2]{x^{3}}.
  • Pede-se uma primitiva (integral indefinida), ou seja, encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\sqrt[2]{x^{3}}.
  • Observação importante: a raiz quadrada real principal impõe normalmente x\ge 0. Trabalharei assumindo x\ge 0.

Passo 2

Converter a notação de raiz para potência para facilitar o uso da regra de potências.
Regra: \sqrt[n]{a}=a^{1/n}. Para raiz quadrada ( n=2):
\sqrt[2]{x^{3}}=(x^{3})^{1/2}=x^{3/2}.
Portanto a integral fica
\int \sqrt[2]{x^{3}}\,dx = \int x^{3/2}\,dx.

Passo 3

Apresentar e entender a regra de integração por potência (a “fórmula” que vamos usar).
Fórmula: para \,n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
Explicação didática: isso vem da regra da derivada ao contrário. Sabemos que \dfrac{d}{dx}\big(x^{n+1}\big)=(n+1)x^{n}. Para obter uma primitiva de x^{n} basta dividir por (n+1), ou seja escolher \dfrac{x^{n+1}}{n+1}. O +C é a constante de integração porque derivada de uma constante é zero.

Passo 4

Aplicar a fórmula ao caso concreto. Aqui n=\tfrac{3}{2}. Calcular n+1:
n+1=\frac{3}{2}+1=\frac{3}{2}+\frac{2}{2}=\frac{5}{2}.
Agora aplicar a regra:
\int x^{3/2}\,dx=\frac{x^{5/2}}{5/2}+C.

Passo 5

Simplificar a fração \dfrac{1}{5/2}. Lembre-se que \dfrac{1}{a/b}=\dfrac{b}{a}, então \dfrac{1}{5/2}=\dfrac{2}{5}. Assim
\int x^{3/2}\,dx=\frac{2}{5}\,x^{5/2}+C.

Passo 6

Dar uma forma alternativa usando radicais (útil para interpretar no caderno): como x^{5/2}=x^{2}\,x^{1/2}=x^{2}\sqrt{x}, obtém-se também
\frac{2}{5}x^{5/2}+C=\frac{2}{5}x^{2}\sqrt{x}+C.

Passo 7

Verificação rápida (cheque que sempre funciona na prova): derivar o resultado para confirmar.
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{2}{5}x^{5/2}\right)=\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}x^{3/2}=x^{3/2}=\sqrt[2]{x^{3}},
portanto está correto. Dica final: sempre converta raízes em potências e aplique a regra de potência; cuidado apenas quando o expoente n=-1 (caso em que a primitiva é \ln|x|).

Resposta

\dfrac{2}{5}x^{5/2}+C

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